x＝-tとするのはなぜ

(2)の問題で、x＝-tとするのはなぜでしょうか。 たしかに-∞ではうまく解けなかったですが、、、

こんばんは。 前の質問のlimとlogの順番の入替えが可能であるのは、厳密な証明は大学に行ってからのお楽しみ（？）。 さて、今日の質問、別にx=-tと置かなくてもできますが、ちょっと気を付けなければならないところが出てきて、それでその解答では置き換えをしたのでしょう。 →ー∞のままでやる時は、分母分子をｘで割る時に注意が必要です。 たとえばa,bともに正の数そとき、 $ \sqrt{a} ÷ (-b)=- \dfrac{\sqrt{a} }{b}=- \sqrt{\dfrac{a}{b^2}}$ となりますから、 負の数ｘで割る時は前にマイナスが付いて、ルートの中は$(-x)^2 (=x^2)$ で割ります。 ここさえ間違えなければ、置き換えなくても大丈夫です。 そのまま分子の有理化をして、$=\lim _{x \rightarrow - \infty} \dfrac{x}{\sqrt{x^2+x}-x}$ ここで分母分子をｘで割る時、ｘは負だから $=\lim _{x \rightarrow - \infty} \dfrac{1}{- \sqrt{1+ \frac{1}{x}}-1}$ となり、めでたく$-\dfrac{1}{2}$ になります。 ま、$x \rightarrow - \infty$で、ルートがからんだときは置き換えた方が間違いが少ないですから、覚えておいた方がいいですね。 これで大丈夫ですか？コメント欄に返事を書いてください。