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漸化式
この漸化式のAnの一般項を教えてください。
インターネットで出てきたため答えは分かりません。調べた限り解答に下記の画像三番目のcothが入った式が出ました。
自分なりに解いてみた限りこの部分まで解けました。以降のやり方を教えてください。
回答
こんばんは。初めての方ですね。よろしく。
なるほど。
特性方程式 $ t=\dfrac{t^2+2}{2t}$ から $t=\pm \sqrt{2}$ が得られて、そこまで変形したのですね。
ここで $ \dfrac{a_n-\sqrt{2}}{a_n+\sqrt{2}}=b_n$ と置けば
$ b_{n+1}=\Big( b_n \Big)^2$
対数を取って（底は何でもいい）
$\log b_{n+1}= 2 \log b_n $
$ \log b_n =c_n$ と置けば、
$ c_{n+1}=2 c_n , c_1=\log b_1 = \log \dfrac{a_1-\sqrt{2}}{a_1+\sqrt{2}} = \cdots =2 \log ( \sqrt{2}-1)$
数列 $c_n$ は等比数列だから、これでいけますね。
あとは順にさかのぼっていく。
答がかなりめんどくさい式になりますが、解けますね。
cothは解答に出てきた？そのページをみたいです。これについてはまた考えてみますが。
分かりにくい投稿をしてしまい申し訳ございません。解答は持っていません。質問内容を編集いたしましたので、よろしければご回答のほどよろしくお願いいたします。
何度もすみません、、logb1ってlog(3-2√2)ではないんですか？a1に2を代入するとそうなったのですがどこが違うのでしょう、、
あ、(3-2√2)は(√2-1)^2ですね。というか、(√2-1)^2を計算したら3-2√2になったんですよね。
c1=logb1ですが、2log(√2-1)じゃないです？もしかして私の計算間違い？？？
あ、そうです！ごめんなさい。直します。
なるほど、Wolmfram先生のお答えでしたか！ 明日考えて見ますね。