y軸での回転体の体積

曲線$1/x$と2曲線x=1、x=2およびx軸とで囲まれた部分をy軸の周りに1回転してできる回転体の体積を求めよ。 y軸に垂直に切った図形の面積を求めてyで微分すると良いってネットに書いてあったのですが、切った時の面積の表し方が分かりません。 解説よろしくお願いします。

こんばんは。 ｙ軸回転ですから、ｙ方向の積分が楽です。 （薄皮円柱の集合体として考え、薄皮の面積をｘ軸方向に積分するという、バームクーヘン積分というのでもいけます。それも便利です。もしご存じなければネットで検索すれば出てきます。） ０≦ｙ≦1/2の部分は回転したら穴あき円柱ですから、そこは算数で求めます。外側の半径が２，内側の穴の半径が１で、高さは1/2ですね。 1/2≦ｙ≦１の部分は、y軸に垂直に切った断面をｙ軸方向に積分（足すということ）しますね。 質問の断面ですが、穴あき円板になるのはいいですか？　あなの半径は１ですね。問題は外側にくる円の半径です。 切る位置のｙの値に対して、そのときの半径は、ｙの値に対するグラフの交点のｘ座標になりますね。そのｘ座標は、 $y=\dfrac{1}{x}$ より $x=\dfrac{1}{y}$ です。つまり穴あき円板の外側の円の半径はｙに対して1/yです。 よって穴あき円板の面積は $\pi \Big(\dfrac{1}{y}\Big)^2-\pi \cdot 1^2=\pi \Big( \dfrac{1}{y^2}-1\Big)$ これをｙ方向に1/2から１まで積分すると、上半分の変な立体の体積になります。 これで大丈夫ですか？ わかったとか、まだこのへんがわからないとか、コメント欄に返事を書いてください。 注：ことこの問題に関してはバームクーヘン積分の方がはるかに楽です。 一般にy=f(x)とｘ軸で囲まれたa≦x≦bの部分をｙ軸を中心に回転したときの体積は $ \int_a^b 2\pi xf(x)dx$ で求まります。理由はネットで検索して調べてください。それでもわからないときは、コメント欄に書いてください。