指数関数　広義積分

こちらの解き方が全くわかりません。 特に指数関数の部分の積分がこの場合どう解けば良いか分からず苦戦しています。

こんにちは。初めての方ですね。よろしく。 冒頭、積分範囲は０≦ｘ＜∞ではなく、ー１≦ｘ＜∞ですよね。 「極限をとる前に置換積分」すると正しい計算ではない、というあたりがよくわからないですが、これはどうしたって置換積分しますよね。授業では、なぜ正しい計算ではないと説明されたのでしょうか。あとで教えてください。だいたい極限をとった後で置換なんかしないし。するなら極限をとる前に決まってるし。？？？？ 普通なら、まずー１からK（有限な定数）までの定積分を計算してからK→∞の極限をとれば終わりです。 そのためには$x^2+2x+3=t$ という置換をしますよね。 あなたは途中で置換積分が許されるならこの広義積分は計算できるのですか？ （それなら私も解説が書けます。言ってください） ＝＝＝＝＝＝＝＝＝追記19:00頃＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 通信制でがんばっている人を尊敬します。 なかなか大変だと思いますが、がんばって続けてください！ じゃ、置換積分をするやり方を書いてみますね。 広義積分ですから、$\lim_{k \rightarrow \infty} \int_{-1}^k f(x) dx$ を計算しますよ。 まずは $\int_{-1}^k f(x) dx$ …①から。 置換積分を行います。なぜかというと、$x^2+2x+3$ の微分の中に、分子にある $x+1$ が含まれていて、うまくいくのです。 $ x^2+2x+3=t$ と置きます。このとき $ (x^2+2x+3)'=2x+2=2(x+1)$ なので、…② $ 2(x+1)dx=dt $ すなわち $ (x+1)dx=\dfrac{1}{2}dt$　…③ また、x=-1のとき、t=2、x=kのときt=$k^2+2k+3$ なので…④ ①は $\int_2^{k^2+2k+3} \dfrac{1}{e^t}\dfrac{1}{2}dt$　…⑤ 以下、計算すると $=\dfrac{1}{2}\int_2^{k^2+2k+3} e^{-t} dt$　…⑥ $=\dfrac{1}{2} \left[ -e^{-t} \right]_2^{k^2+2k+3}$　…⑦ $=\dfrac{1}{2}\big(-e^{-(k^2+2k+3)}+e^{-2}\big)$　…⑧ これで有限の範囲の定積分が求まりましたから、あとはｋ→∞の極限値を求めます。 ｋ→∞のとき、$-(k^2+2k+3) \rightarrow -\infty$ だから$-e^{-(k^2+2k+3)}\rightarrow 0$…⑨ よって極限値は$\dfrac{1}{2}e^{-2}=\dfrac{1}{2e^2}$　…⑩ ということになります。 途中の式変形で解らないところがあれば番号で言ってください。 これでは「極限をとる前に置換積分を」しているので、問題文にあることに反するようですが、普通はこれで大丈夫だと思います。 さて、あなたはこれで大丈夫ですか？ これを読んだら、わかったとか、まだこのへんがわからないとか、コメント欄に返事を書いてください。それがないと、せっかく書いたものを読んでくれたのかどうか、書いたものが役に立ったのかどうか、こちらではわかりませんので。よろしく。２回目以降も同様です。またどうぞ。