なぜこれになるの?

赤い線の部分が分かりません。

こんにちは。初めての方ですね。よろしく。 三角関数の合成ですね。教科書にある公式に当てはめていきます。 ただし、当てはめ方がいくつかあって、そこに書いてある式だけが正解ではありません。あなたの質問が「自分は違う式になってしまったのだが」という事ならば、あとでコメント欄にあなたの式を書いてみてください。OKかどうか判定（？）しますよ。 さて、公式は $a\sin \theta + b \cos \theta = \sqrt{a^2+b^2} \sin(\theta+ \alpha)$ ただし、$\alpha$ は　$\cos \alpha=\dfrac{a}{ \sqrt{a^2+b^2} } , \sin \alpha=\dfrac{b}{ \sqrt{a^2+b^2} }$ を満たす角である。 でしたね。質問の部分は、上の公式に当てはめれば、 $a=-1 , b=1 $ の場合で、 これより $\cos \alpha=-\dfrac{1}{ \sqrt{2} } , \sin \alpha=\dfrac{1}{ \sqrt{2} }$ となり、 $\alpha=\dfrac{3}{4} \pi$ でることがわかり、合成した結果は $\sqrt{2} \sin (y+ \dfrac{3}{4} \pi)$ となります。これで正解なのですが、解答とは違いますね。見た目は違いますが、これを使って先の議論を進めても問題ありません。 じゃ、解答の式はどこから出たのかというと、（なぜかは分かりませんが）マイナスをくくりだしてしまって $-(\sin y -\cos y)$　として、カッコの中の三角関数の合成をしているようです。素直じゃないなぁ！ こうかんがえると、さきほどの公式の$a=1 ,b=-1$ ということになり、$\alpha$ は $\cos \alpha=\dfrac{1}{ \sqrt{2} } , \sin \alpha=-\dfrac{1}{ \sqrt{2} }$ より $\alpha=-\dfrac{\pi}{4} $ となり、合成した結果は $\sqrt{2}\sin(y-\dfrac{\pi}{4}) $ で、それにマイナスをつけて解答のようになったというわけです！ 合成した結果は、何も制限がついていないときはいくつかの表現があります。教科書やここでは合成してサインにすることしかしませんが、合成して一つのコサインにすることもあります。 いずれにしても、なぜ合成の公式ができたのか、や、そのもとになる加法定理を理解し、使いこなせるようになることが大事ですよ！ さて、これで大丈夫ですか？ これを読んだら、わかったとか、まだこのへんがわからないとか、コメント欄に返事を書いてください。それがないと、せっかく書いたものを読んでくれたのかどうか、書いたものが役に立ったのかどうか、がこちらではわかりませんので。よろしく。２回目以降も同様です！