2直線の交点を通る直線

81のkf+gのところがなんでそうなるのかいまいちわかりません。解法暗記としてしまえばそれまでですが

こんばんは。 これはよくある質問です。分かりにくいですよね。 本来は$kf(x,y)+hg(x,y)=0$ …①なんです。 f(x,y)=0やg(x,y)=0が１次式で、k,hが実数なら、この式は普通は直線を表します。 そして、もし２つの直線が交点を持つとします。その交点をP(p,q）とすると、 $f(p,q)=0,g(p,q)=0$ です。 ①にx=p,y=qを代入してみると $kf(p,q)+hg(p,q)=k\cdot 0+h\cdot 0=0$ となるので x=p,y=qは①を満たします。つまり点(p,q)は①上にあるということがわかりました。 ①は直線の式で、しかも点(p,q)を通るんだから、任意のｋ、ｈについて 「$kf(x,y)+hg(x,y)=0$はf(x,y)=0とg(x,y)=0の交点を通る直線である」といえますね。 ただし、交点がないときでも①の式は作れるので、あくまでも交点がある時は、という条件付きです。 以上のことから、２つの直線の式から作った①の式は（交点があれば）交点を通る直線になっていることがわかります。ｋやｈの値しだいで①は変わりますが、でも交点は通ります。 ｈが０でないときなら①をｈで割ってもいいだろう（方程式は等式で、等式の両辺を０でない数でわっても等式は成り立つ）、それだって交点を通るだから。で、k/hをあらためてｋと置くと、公式のような式が生まれます。 「kf+g=0は交点を通る直線を表す」 ｋとｈの２つを含む式よりこの方がｋだけなので使いやすいや、ということで高校ではこれを使っています。 これで理解できたでしょうか？ ただし、この説明で解るとおり、ｈが０でないときの話なので、ｈ＝０のとき、すなわち①がｆそのものに一致しているときはkf+g=0ではｆを表すことができず、厳密には「kf+g=0は交点を通る直線を表す。ただしf=0は表せない」となります。（①はｆ=0も表せます。） この議論でわかるように、ｆ＝０やｇ＝０は直線である必要はなく、たとえば 放物線$y=2x^2-5x+1$ と直線$y=5x+7$ の２交点を通るような放物線で、点（２，３）を通るものを求めよ、なんて時には 求める放物線は$k(y-2x^2+5x-1)+(y-5x-7)=0$ と書ける。これが（２，３）を通るから代入して…とかやるとｋが求まり、あとは整理すれば求める放物線の方程式が求まります。円の方程式をもう習ったのかどうかわかりませんが、「２つの円の交点を通る直線の式を求めよ」なんてのも同じ考えで一発で出来ます。 数学的には便利な考え方ですので、ぜひ理解してください。 これで大丈夫ですか？わかったとか、まだこのへんがわからないとか、コメント欄に返事を書いてください。