Σを使った関数の立式の仕方

問１の質問です。lim n→∞で数列の和ですから、Σ→∫を使っての極限値を求める、というのはわかりますし、問題下の注釈でもそれを促していますのでそれをしたいのですが、lim 1/n Σの後ろの関数が見当つかないです。もう一つの方法である、この数列のnでの総和を求めてn→∞という従来の方法なら解けるのですが、（k,k^2,k^3,k^4のΣなので、例の公式でnでの総和は出てきます。k^4は高校数学の範疇ではないですが、階差作ればできないこともないです。）この章（定積分と不等式）の主旨には反します。答えは5/6です。∑を使った解法のご教示をお願いします。

こんにちは。 以下の解法は、厳密ではありませんので、果たして理科大の答案として認められるのか疑問です。 高校生がやるのなら「極限と四則の順番は変えられる」「四則を計算してから極限をとる代わりに、極限をとってから四則を計算しても大丈夫」な程度の関数しか扱わないのでいいのかも。でも数学的にはこのことは自明ではありません。 与式の分母分子を先ず $n^5$ で割ります。 与式＝ $\dfrac{ \Big((\frac{1}{n})^2+(\frac{2}{n})^2+ \cdots +(\frac{n}{n})^2 )\Big) \Big((\frac{1}{n})^3+(\frac{2}{n})^3+ \cdots +(\frac{n}{n})^3 ) \Big)}{\Big( \frac{1}{n} + \frac{2}{n} + \cdots +\frac{n}{n}\Big) \Big((\frac{1}{n})^4+(\frac{2}{n})^4+ \cdots +(\frac{n}{n})^4 )\Big) }$ さらに$n^2$ で割ります。 $=\dfrac{ \frac{1}{n}\Big((\frac{1}{n})^2+(\frac{2}{n})^2+ \cdots +(\frac{n}{n})^2 )\Big)\cdot \frac{1}{n}\Big((\frac{1}{n})^3+(\frac{2}{n})^3+ \cdots +(\frac{n}{n})^3 ) \Big)}{\frac{1}{n}\Big( \frac{1}{n} + \frac{2}{n} + \cdots +\frac{n}{n}\Big) \cdot \frac{1}{n}\Big((\frac{1}{n})^4+(\frac{2}{n})^4+ \cdots +(\frac{n}{n})^4 )\Big) }$ これで $\frac{1}{n}$ がついた４つの部分が現れますので、ここで数学的には厳密でないことをします。 この４つの部分をそれぞれ先に極限をとり（ここで「適用(1)」の積分に変えます）、その結果を使って分数全体の値を計算します。これで答の5/6が得られます。 これで大丈夫ですか？わかったとか、まだこのへんがわからないとか、こんなのは認められないとか、コメント欄に返事を書いてください。