根号を含む式の計算

どうやったらこうなりますか？ なかなか思いつかない時ってどうすべきですかね…💦 ごめんなさい、分かりにくかったですね (4)までは分かりました！ (5)が分かりませんでした。よろしくお願いします。

回答しますね。 だいたい数学はやり方が一つではありません。だから模範解答のやり方だけが模範っていうわけではないです。他のやり方、たとえば(3)は ３乗は２乗×１乗だから、$\big(x^2+\dfrac{1}{x^2}\big) \big(x+\dfrac{1}{x}\big)$ を想定して、これを展開して出てくる余計なものを引けばいいのです。 $\big(x^2+\dfrac{1}{x^2}\big) \big(x+\dfrac{1}{x}\big)=x^3+\dfrac{1}{x^3}+x+\dfrac{1}{x}$ なので $ x^3+\dfrac{1}{x^3}=\big(x^2+\dfrac{1}{x^2}\big) \big(x+\dfrac{1}{x}\big)-(x+\dfrac{1}{x})$ を計算してもいいわけです。同じように $x^4+\dfrac{1}{x^4}=\big(x^3+\dfrac{1}{x^3}\big) \big(x+\dfrac{1}{x}\big)-(x^2+\dfrac{1}{x^2})$ と考えても計算できるし。 ５乗のやつは $\big(x^4+\dfrac{1}{x^4}\big) \big(x+\dfrac{1}{x}\big)$ を展開してみてよけいなものをみつけておいて引く $x^5+\dfrac{1}{x^5}=\big(x^4+\dfrac{1}{x^4}\big) \big(x+\dfrac{1}{x}\big)-(x^3+\dfrac{1}{x^3})$ でも計算できます。もちろん５乗は３乗×２乗だと思えば、まず $\big(x^3+\dfrac{1}{x^3}\big) \big(x^2+\dfrac{1}{x^2}\big)$ を考えて展開してみて、余分なもの $x+\dfrac{1}{x}$ を引けばいいです。 この問題では（１）から(5)まで順に求めていくので、どれを採用しても大丈夫ですが、小問がなくていきなり５乗のやつを求めよといわれたら、３乗までは自分で求めてから、その解答のようにやれば、４乗のを計算しなくても済むという利点もありますが。 これで大丈夫ですか？コメント欄に返事を書いてください。