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二つの変数の次数がいずれも2の最大最小問題
この問題を三角関数を用いずに解く方法はありますか？
二次関数や図形と方程式に持ち込もうとしてもyの次数が2であるせいで全然見通しが立ちません、、。他に方法はあるのでしょうか？
回答
こんばんは。
う～む、なさそうですねぇ。
数学Ⅲの微分法を学んだあとなら、なんとかできるかもしれませんが、それでも結構面倒な計算をしなければなりません。
今の数学Cでやるのかどうかわからないのですが、$2x^2+3xy-y^2=k$ という方程式が斜めになった双曲線を表すとかがわかると図形的な考えも進むかもしれませんが、たぶん高校では習わないのではないかと思います。
ここはもう、$x^2+y^2=4$ を見たら、$x=2\cos \theta , y=2\sin \theta$ という置き換えがベストです。
ぜひ定石として覚えておいた方がいいです。
これでどうでしょうか？コメント欄に返事を書いてください。
この形がきたら、三角関数に持ち込むって事は暗記します！ 数Ⅲの微分を習ったらそれでまたチャレンジしてみようと思います笑 ありがとうございました！
いいえ、どういたしまして。またどうぞ！
円の方程式を求めたい関数に代入して、それをf(x)の関数で表せる場合なら、y=f(x)とy=kとの共有点（xの範囲は問題文の場合なら-2<x<2)を調べるかf(x)の導関数で最大最小を見つけるって方法とれますが、xyのうちのyがうまく消えてくれないから三角関数ぬきで考えると逆に煩雑になるかと。三角関数に解答のように置き換えると2変数関数の問題が1変数関数に帰着できるので、見通しが立ちやすいかと。
いや、もともと、条件式が一つあるから1変数の問題なのです。現にあなたも値に関わる式を１変数yで書けたのですから。三角関数を持ち出したから1変数になったわけではありません。で、yだけの式を微分して増減表はかけたのでしょうか?
失礼しました。確かに一方の値に束縛されていますから、1変数ですね。