1996年度センター数学B◻︎2〔1〕数列

画像にて質問させていただきます。よければご確認ください。

与えられた式に番号①②をつけます。 　$S_n =\log_2 a_1+\log_2 a_2+ \dots + \log_2 a_n$　$\dots$① 　$S_n=2n^2 \log_2(c+1)+n\log_2 c$　$\dots$② また題意より 　$a_n=ar^{n-1}$　$\dots$③ ●$n=1$ のとき ③より　$a_1=a$ だから①より 　$S_1=\log_2 a_1=\log_2 a$ また②より 　$S_1=2\log_2 (c+1) + \log_2 c$ 　　　$ =\log_2 c(c+1)^2$ よって 　$ a=c(c+1)^2 = c^3+2c^2+c$　$\dots$④ $\fbox{\bf ア}：2$ ●$n=2$ のとき ③より $a_2=ar$ だから①④より 　$S_2=\log_2 a_1 +\log_2 a_2$ 　　　$ =\log_2 a + \log_2 ar$ 　　　$ =\log_2 a^2 r$ 　　　$ =\log_2 c^2(c+1)^4 r$ また②より 　$S_2=8\log_2 (c+1)+2\log_2 c$ 　　　$ =\log_2 c^2(c+1)^8$ よって 　$c^2(c+1)^4 r=c^2(c+1)^8$ 　∴　$r= (c+1)^4$　$\dots$⑤ $\fbox{\bf イ}：1$,　$\fbox{\bf ウ}：4$ ●④⑤より $c>0$ であるから、相加平均$\geqq$相乗平均を使って、 　$\dfrac{r}{a}=\dfrac{(c+1)^4}{c(c+1)^2}$ 　　　$=\dfrac{(c+1)^2}{c}$ 　　　$=c+\dfrac{1}{c} +2$ 　　　$\geqq 2\sqrt{c \cdot \dfrac{1}{c}} +2=4$ 　$\Bigl( =$ が成り立つのは、 $c=\dfrac{1}{c}$ つまり $c=1$ のとき $\Bigr)$ $\fbox{\bf エ}：1$,　$\fbox{\bf オ}：4$