極座標の微分方程式

新たに数理生物学的な手法の習得を目指している生物系の研究者です。 線形力学系の安定性を解析する際に、行列の固有値の解に複素数が生じる場合の解法に関連した以下の質問です。 具体的には、dx/dt=ax-by, dy/dt=bx+ay, x=rcosθ, y=rsinθの時、dr/dtを求めよという問題についてです。解答にはdr/dt=arとありました。 x=rcosθを変形してr=x/cosθ よって、dr/dx=1/cosθ・・・(i) (i)と条件のdx/dt=ax-byより、 dr/dt =dr/dx・dx/dt =(1/cosθ)・(ax-by) =(1/cosθ)・(arcosθ-brsinθ) =ar-brsinθ/cosθとなり、余計な(-brsinθ/cosθ)がくっついています。これが常に0になる必要があり、変になってしまいます。 初歩的なミスをしている可能性もあり、お恥ずかしい限りですが、どなたかご教授のほどよろしくお願いたします。

画像のような計算手順です。 合成関数の微分を定義に沿って忠実に行えば求められます。