次数を下げる

(1) は分かりましたが、(2)がわかりません…

みさきさん、こんにちは。 質問のタイトルに「次数を下げる」とあるので、その方法は大丈夫なのですね。 ａの値が複雑で、次数の高い多項式の値を求めるときは、ａの値から逆に、値が０になるような２次式を作り、その式で次数の高い多項式を割った余りを出すというやつです。これについて説明が欲しければコメント欄で言ってください。この問題では(1)があって、＝０になる式が与えられていますが、(1)がなくても自力で＝０になる式は作れますか？これももし心配なら言ってください。解説します。 さて、この方法は大丈夫だとすれば、あとは$a^8$ を$a^2-2a-1$ で割った余り（１次式）を求めて、そこにａの値を代入しておしまいですから、$a^8$ を$a^2-2a-1$ で割るのですね。縦書きの筆算は大丈夫ですか？そのやり方でやると 商は $\frac{1}{2}a^6+\frac{1}{2}a^5 +\frac{3}{4}a^4+a^3+\frac{11}{8}a^2+\frac{15}{8}a+\frac{41}{16}$ で、 余りは $\dfrac{112a+41}{16}$ という大変な計算をしなければなりません。あとは $\dfrac{112a+41}{16}$ にａの値を代入して計算すれば、答は $\dfrac{97-56\sqrt{3}}{16}$ になります（疲）！ 原理的にはこれしかありません。２乗の係数が２なので大変ですが、がんばってください！でもでも… 求める多項式がごく単純な式なので、この問題では直接 $a^8$ の値を求めちゃったほうが楽。つまり、「次数を下げて簡単に求める方法」という内容の章の問題としては不適切ですね。 $a^8$ を直接は大変なので、順に $a=\dfrac{1-\sqrt{3}}{2}$ $a^2=\dfrac{2-\sqrt{3}}{2}$ $a^4=\dfrac{7-4\sqrt{3}}{4}$ $a^8=\dfrac{97-56\sqrt{3}}{16}$ となって、求まります。 ａの値から、＝０になるような２次式を作って、割って、余りの１次式にａの値を代入する、という定石が分かっていれば、$a^8$ の問題はできなくてもまるで心配はないと思います。もし、その定石の方法がわからないなら言ってくださいね。 わかったとか、まだこのへんがわからないとか、ここをもう少し説明してくれとか、コメント欄に返事を書いてください。