数学Ⅲ　微分

某チャート式のExの問題です。 -1<x<1の範囲で定義された関数f(x)で、次の２つの条件を満たすものを考える。 f(x)+f(y)=f{(x+y)/(1+xy)}　　(-1<x<1, -1<y<1) f(x)はx=0で微分可能であり、そこでの微分係数は1である。 (1)　-1<x<1に対し、f(x)=-f(-x)であることを示せ。 (2)　f(x)は -1<x<1で微分可能であることを示し、f'(x)を求めよ。 (1)は解けましたが、(2)の微分可能を示すところから方針が思いつかなくなりました。導関数は両辺をxで微分すればうまくいくのでしょうか。 何卒よろしくお願いします。

みかんさん、こんばんは。初めての方ですね。よろしく！ チャートなら解答・解説を持ってますよね。 今後はその部分の写真もアップしてくださいね。 （問題そのものも写真の方が間違いがなくていいのですが） さて、(2)ですが、とにかく導関数の定義に従って計算してみるしかないでしょう。極限をとる前の形で扱ってみますが… $\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$ $=\dfrac{f(x+h)+f(-x)}{h}$　←(1)より $=\dfrac{f \Bigl(\dfrac{(x+h)+(-x)}{1-x(x+h) } \Bigr)}{h}$　←$f(x)$ の条件式より $=\dfrac{f \Bigl(\dfrac{h}{1-x(x+h) }\Bigr)}{h}$ $=\dfrac{f \Bigl(\dfrac{h}{1-x(x+h) }\Bigr)}{\dfrac{h}{1-x(x+h) }} \cdot \dfrac{1}{1-x(x+h) }$　←無理やり ここで $\dfrac{h}{1-x(x+h) }=t$ と置くと、ｈ→０のときｔ→０，$\dfrac{1}{1-x(x+h) }$→$\dfrac{1}{1-x^2}$ で、 (1)の議論の中で $f(0)=0$ がわかっているから $\dfrac{f(t)}{t}=\dfrac{f(0+t)-f(0)}{t} \rightarrow f'(0)=1$ よって、ｘの値に関わらず$\lim _{h \rightarrow 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}=\dfrac{1}{1-x^2}$が存在するので微分可能。 また$f'(x)=\dfrac{1}{1-x^2}$ だから $f(x)=\dfrac{1}{2} \log \dfrac{1+x}{1-x}$ ちょっと積分定数のことを省きましたが、答案ならちゃんと入れないといけないでしょう。はじめの条件式に代入すれば積分定数は０であることがわかります。 どこかに間違いがあるかもしれません。見つけたら教えてください。 これで大丈夫ですか？ これを読んだら、わかったとか、まだこのへんがわからないとか、ここはおかしいぞ！とか、コメント欄に返事を書いてください。それがないと、せっかく書いたものを読んでくれたのかどうか、書いたものが役に立ったのかどうか、こちらではわかりませんので。よろしく。２回目以降も同様です。