ベクトルの角度証明

大問２（1）ですが1つ目の解答は初めから何を言ってるのかよく分からない。 2つ目の解答はベクトルCを立てていますが、どういう指針から進めようとしているのかがよくわからないです。 より簡単に考える方法があれば、ご教授願いたいです。質問だらけで申し訳ないです

こんばんは。 さすがに京大です。なかなか。 ２番目の解法はお勧めできませんね。これはある程度別の観点から推測してから、どうしたらうまく解説できるか考えてみた、という感じの解法で、たしかに、読んでいても、どんな方針でやっているのか、どの方向に進もうとしているのか、まったくはっきりしません。実に読みにくいです。試験中にこんな解法を書けるわけがないです。この解法は噛みしめても味がしませんね(笑)。 １番目の方は違います。味があります。１番目の解法を読み解いて、京大的センスをかみしめるのがいいと思いますよ。今後ベクトルの太文字は入力しにくいので、小文字のアルファベットでベクトルだと思ってください。 センスとしては、与えられた式のａとｂが入れ替わって大丈夫な式だと見抜くことです。はじめにａとｂを使っておいて、そのまま問題文でも使っているので気がつきにくいですね。ちょっと書き換えてみますよ。 $x,y$ がＳの要素ならば、$\dfrac{2(x,y)}{(y,y)}$ は整数である ここでＳの要素 $a,b$ を持ってくれば、どちらが$x$でどちらが$y$でもいいのですから、 $\dfrac{2(a,b)}{(b,b)}$ は整数 $n$ である $\dfrac{2(b,a)}{(a,a)}$ は整数 $m$ である の両方が言えます。 $\dfrac{2|a||b|\cos\theta}{|b|^2}=n$ $\dfrac{2|a||b|\cos\theta}{|a|^2}=m$ このあともセンスが必要で、この２つの式を見て「あ、２式を掛けるとa,bの情報が消えてくれる！」と気がつくかどうか。ま、気がつかなくても、ちょっと掛けてみるか、ぐらいのセンスが必要なんですね。これは自然な流れではなく、ある意味の「発見」です。「そんなこと気がつかないよ～」といってもしょうがないことです。 ２式を辺々かけて $4\cos^2\theta=nm$ $\cos^2\theta =\dfrac{nm}{4}$ $\cos \theta=\pm \dfrac{\sqrt{nm}}{2}$ ここで $-1\leqq \cos \theta \leqq 1$ より $0 \leqq \dfrac{\sqrt{nm}}{2} \leqq 1$ $0 \leqq \sqrt{nm} \leqq 2$ $0 \leqq nm \leqq 4$ $nm$ は整数だから、$nm=0,1,2,3,4$ このあとは、ちょっと省略し過ぎです。 もう少していねいに書くべきでしょう。 しょうがないよ、京大だからね。でもこれをやったおかげで、一つテクニックを勉強できたのだからよかったよかった！積み重ねれば、センスも上がってきます！ これで大丈夫ですか？わかったとか、まだこのへんがわからないとか、コメント欄に返事を書いてください。