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トーナメントの確率
最後の3番ですが、分母が2^n-1となるのがわかりません。Aと対戦する場合しか数えていないのかと考え、対戦しない場合のBの優勝する確率を足してもどうもうまくいきません。途中式は以下の通りです。宜しくお願い致します。
回答
おはようございます。
あなたの考えでは、Aはずっと勝つみたいですが、Aがどこかで負けてしまえば、それ以降はAとの対戦は考慮しなくていいわけです。ですから、あなたの考えではうまくいかないと思います。
実は、もっと単純な話しでして、
Aが優勝しない確率＝$1-p^n$ で、これはA以外の $2^n-1$人のだれかが優勝する確率の合計。
A以外はみんな対等なのだから、あるBさんが優勝するのは $(1-p^n) ÷ (2^n-1)$
ということで求められます。
(2)はOKだったのですね。私としては(2)がその答えにならず困っています(笑)。
これで大丈夫ですか？わかったとか、まだこのへんがわからないとか、コメント欄に返事を書いてください。
ありがとうございます。そんなに単純で？解答集は答だけしかなかったけど、2^n-1って見たとき、もしかして全体からAだけ引いた人数では？とか思いましたが。私が出した解答はAと対戦して勝って優勝した時の確率であって、Aと対戦せずに優勝するときの確率が抜けているのはわかっていました。ただそこをどう考えるのかがさっぱりでして。 問2に関してですが、私はこう考えました。例えばｎ＝３、つまり６人のトーナメントとして考えます。一回戦は必ず試合はあるわけで試合数の期待値は当然１，そこでＡが負けて終わる確率は１－ｐなので一回戦の期待値は１×（１－ｐ）です。二回戦でＡが負けて終わる確率はｐ×（１－ｐ）です。二回戦までの試合の期待値は２ですので、二回戦の期待値は２×ｐ×（１－ｐ）です。3回戦＝決勝なので、そこまでＡが辿り着く確率はｐ^２です。決勝までの試合の期待値はこの場合は３ですので、３×ｐ^２です。 略解のΣの先の部分はｎ＝３のときの期待値を一般化したものです。試合数の期待値ですので、決勝の勝ち負けは関係ないので、Σの上がn-1になっているというわけです。
ありがとうございました。求まりました。