数列

2枚目の考え方まではわかりました。 その後の計算の仕方が分かりません。 解説お願いします。

こんにちは。初めての方ですね。よろしく！ 別解があるのですが、まずはあなたの方法の続きを書きますね。ただし、そうとう面倒な計算になります。 あなたの式＝$\sum_{k=1}^{n-1} \Biggl(k \times \bigl((k+1)+(k+2)+ \cdots +(n-1)+n \bigr) \Biggr)$…① と表せるのは大丈夫ですか？ 次に、$ \bigl((k+1)+(k+2)+ \cdots +(n-1)+n \bigr) $ の部分を $\sum_{i=k+1}^n i$ または $\sum_{i=1}^{n} i - \sum_{i=1}^k i $ と考えて計算して簡単にします。それを①に代入して、さらにシグマ計算をしていけばでる（はずです、と思います(汗)）。 なかなか大変でしょ？ では別解です。そんなの気がつかないよ、などと言わずに、ここで身につけてください。 ＜別解＞ $(1+2+3+ \cdots +n)^2$ 計算することを考えます。 $(1+2+3+ \cdots +n) \times (1+2+3+ \cdots +n) $ を総当たり方式で展開していくことを考えると、今求めようとしているものの２倍とプラスアルファが出てきます。プラスアルファのほうは、同じものの積が余計に出てきてしまいます。また、たとえば５×７と７×５は別に出てきますので、求めるものの２倍になっています。 そう考えると $S=\dfrac{1}{2} \Bigl((1+2+3+ \cdots +n) \times (1+2+3+ \cdots +n) -(1^2+2^2+3^2+\cdots +n^2) \Bigr)$ で求まるのはわかりますか？ あとは自然数の和の公式、２乗の和の公式を使えばいいだけになります！ これでがんばってやってみてください。このような手を使う問題は頻出です！ これで大丈夫ですか？ これを読んだら、わかったとか、まだこのへんがわからないとか、計算が合わないとか、コメント欄に返事を書いてください。それがないと、せっかく書いたものを読んでくれたのかどうか、書いたものが役に立ったのかどうか、が、こちらではわかりませんので。計算が合わないときはあなたがやった計算のノートの写真をアップしてください。間違いを見つけますので。では、返事を待っています！