関数列と極限

(1)についてn=1～n=3の時に具体的にどのような数値となるところはわかるのですが、その後の赤い線を引いてるところの考え方がよくわかりません。 よろしくお願い致します。

こんにちは。 n=1,2,3を求めてみたら分母のｘの係数が $ 1,(a+b),(a^2+ab+b^2)$ となり、この後 $ (a^3+a^2b+ab^2+b^3),(a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4)$ とかなりそうですね。本当ならn=4もやらないと推定としては弱いですが。 これで推定はできたのですが、だんだん長くなる部分のｎ番目をどうきれいに書くかということを考えました。 たとば $\sum_{k=0}^n a^{n-k}b^k$ でもいいのですが（間違いではないという意味で）、もっときれいにするには因数分解の公式（n=3までは普通ですが、４以上はすこし高級なので、載っていない参考書もあるかもしれませんが） ① $a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^2+\cdots +ab^{n-2}+b^{n-1})$ ② nが奇数の時に限り、$a^n+b^n=(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+\cdots -a b^{n-2}+b^{n-1})$ ←＋ーが交互に出てくる というのがあります。証明は、実際に展開してもいいし、長いカッコの中は等比数列だから、和の公式でまとめてもいいし、やってみてください。 ①の(n+1)バージョンの長い方のカッコに、今考えているｘの係数が出てきますので、あとはそこに書いてある解説のように(n+1)の公式の両辺を$(a-b)$ で割れば、長ったらしい部分がすっきり表せるということです！ このあと数学的帰納法で証明するのですから、長いまま、…など入れたままでは証明がしにくいだろうし、関数の答としては不適格ですからねぇ。 ＝＝＝＝＝追加＝＝＝＝＝ 公式①を無理やり導いてみますね。ただしこれは結果が分かっているからできた変形ですが。 $a^n-b^n$ は因数定理の考えで $(a-b)$ を因数に持つことはわかりますので、残りの因数を$h(x)$ とすると $a^n-b^n=(a-b)h(x)$ と書けます。 これより$h(x)=\dfrac{a^n-b^n}{a-b}=\dfrac{a^n(1-\left(\frac{b}{a}\right)^n)}{a(1-\frac{b}{a})}$ $=\dfrac{a^{n-1}(1-(\frac{b}{a})^n)}{1-\frac{b}{a}}$ これは、初項が$a^{n-1}$ 、公比が $\frac{b}{a}$ の等比数列の第ｎ項までの和になっている。 よって$h(x)=a^{n-1}+a^{n-2} b+ a^{n-3} b^2+ \cdots +ab^{n-2}+b^{n-1}$ なので 公式①は証明された！！ ＝＝＝＝追加終わり＝＝＝＝ これで大丈夫ですか？わかったとか、まだこのへんがわからないとか、コメント欄に返事を書いてください。