方程式の共通解

[黄色チャートの重要例題81] 2つの二次方程式2x^2+kx+4=0, x^2+x+k=0　がただ一つの共通の実数解を持つように、定数kの値を定め、その共通解を求めよ。 [模範解答] 共通解をx=aとすると 2a^2+ka+4=0・・・① a^2+a+k=0・・・② ①ー②*2から(k-2)a+4-2k=0 すなわち(k-2)a-2(k-2)=0 よって(k-2)(a-2)=0 ゆえにk=2またはa=2 [1] k=2のとき二つの方程式はともにx^2+x+2=0・・・③となる。 その判別式をDとすると　D=1^2-4*1*2=-7 D<0であるから、③は実数解をもたない。 よって、k=2は適さない。 [2] a=2のとき ②から　2^2+2+k=0 よってk=-6 このとき、二つの方程式は 2x^2-6x+4=0・・・④、　x^2+x-6=0・・・⑤ となり、④の解はx=1,2 　⑤の解はx=2,-3 よって、確かにただ一つの共通の実数解x=2を持つ。 [1][2]からk=-6, 共通解はx=2 [質問] 自分の解答は 共通解をaとして二式をイコールでつなぐ。　2a^2+ka+4=a^2+a+k を整理してa^2+(k-1)a+4-k・・・⑥ ⑥が重解を持てば共通の実数解も持つと勘違いして判別式D=0を計算しました。 (k-1)^2-4*1*(4-k)=0 (k+5)(k-3)=0 k=-5,3 何でこの考え方が違うのか調べたところ、この方法は二つの二次関数がx軸とは限らず1点aでしか交わらない場合のkの条件を求めている。それから、問題文の二式がただ一つの共通解をもつことと①がただ一つの共通解を持つことは関係ない。例　2(x-1)(x-2)=0と(x-1)(x-4)=0は共通解x=1 しか持たないが、2(x-1)(x-2)=(x-1)(x-4)はx=0,1の二つの解を持つ。　といった情報が出てきました。書いてある内容は理解できたつもりですが、それではなぜ　自分が求めたkの値がどちらもx軸と交わりかつ二つの二次方程式の共有点であるk=-6がないかわかりません。二次関数がx軸とは限らず1点でのみ交わるxを調べたならk=-6が計算結果にあってもおかしくない気がします。やはりどこか全く理解できてない点があるんでしょうね・・・。 簡単な問題なら式の計算がxy平面上で何が起きているのか想像つくんですけど、少し複雑になるとxy平面上で何が起きてるのか想像できなくなります。この想像を止めると解法暗記に走ってしまいそうで不安ですね。長文失礼しました。

大介さん、こんばんは。初めての方ですね。よろしく！ なるほど、いろいろ考えましたね。 問題は共通解を１つ持つこと、すなわち２つの放物線 $y=2x^2+kx+4,y=x^2+x+k$ のグラフが、ⅹ軸上で交わる（共有点を持つ）ことを要求しています。そしてこのとき、実際は（つまりk=-6のときは）２つの放物線は２点で交わります（そのうちの１つがⅹ軸上で交わります）。だから、あなたの答には出てこなかったのです。 あなたがやってる判別式＝０は、２つの放物線の共有点が１つしかないようなｋの値を求めています。k=-5,3のときは確かに２つの放物線の共有点は一つですが。それは方程式の解になっていません。 そういうわけで、あなたのいう「１点のみで交わる」中に「共通解が１つ」ということが入ってこなくても当然だ、という事なんですね。「１点のみで交わる」ようなｋの値（ー５，３）では「ⅹ軸上で交わる」とという条件は残念ながら満たしていないのです。（偶然満たす場合もあるでしょうが） これで大丈夫ですか？ これを読んだら、わかったとか、まだこのへんがわからないとか、コメント欄に返事を書いてください。それがないと、せっかく書いたものを読んでくれたのかどうか、書いたものが役に立ったのかどうか、こちらではわかりませんので。よろしく！２回目以降も同様です。