微分

自分の解答のようにf(ｘ)が極値を持つ⇔f'(ｘ) =0が重解を除く、一つ以上の解を持つ と言う関係は成り立ちますか？また、そうならば、前置きなしでこの事実は使えますか？ よろしくお願いいたします。

音弥さん、おはようございます。 $f'(x)$ が重解ではない解を持てば極値をとる、というのは、関数を限定すれば正しいと思います。 ただし、一般的には「重解」かどうか難しい場合もあるので、まったく正しいとは言えないかと。 扱う関数が、整式、あるいは分数式の程度なら、重解かどうか判断できますが、例えば関数が三角関数や指数関数が絡んだ関数になったら、$f'(x)=0$ となるｘが分かったとしても「重解であるのかどうか」という議論はしにくいです。 $f(x)=\sin x$ の導関数 $f'(x)=\cos x$ が０となる $x=\dfrac{\pi}{2}$ が重解なのかどうかという議論はできないですね。やはり $x=\dfrac{\pi}{2}$ が $x=\dfrac{\pi}{2}$ の前後で符号が変わることを言わないと極値かどうかは示せませんものね。 以上、あなたのアイデアはとてもいいとは思いますが、一般的には極値の定義にしたがって「導関数の符号がその前後で変化する」ということを示すべきです。 これで大丈夫ですか？いつものようにコメント欄に返事を書いてください。じゃぁね。また。