直線の方程式、3直線が一点で交わる時

数学IIBの青チャート（2021）の例題82の（2）で、「2直線の交点を通る直線の公式」「k f+g=0」を使って解いたら、なかなか正しい答えになりません。この公式を使った解き方を教えていただきたいです。 また、この問題ではこの公式が使えない場合、その理由も教えていただけると幸いです。

健五さん、こんにちは。初めての方ですね。よろしく！ もちろんこの手で解くことができますし、交点を求めないですむから案外いい方法です。 でも多くの人が引っかかるところがあるのです。あなたも引っかかりました！ ２つの直線の式が同じ直線を表すからと言って、それぞれの係数を比較して同じはずだ、と考えるのは間違っているのです。 たとえば、$x-2y-5=0$ と $-2x+4y+10=0$ は、係数は異なりますが同じ直線です。 $ax+by+c=0$ と $dx+ey+f=0$ が同じ直線のときは、$\dfrac{a}{d}=\dfrac{b}{e}=\dfrac{c}{f}$ が成り立ちます。ですからこの問題でもそれをやってもできます。 でも、どれか１か所の係数が同じなら、たとえば$ax+by+c=0$ と $dx+by+f=0$ が同じ直線のときは、他の係数も同じになります。ｙの係数が等しいから $a=d,c=f$ がいえます。 さて、あなたのやり方ではこのへんを考えずに、同じ直線なら係数が同じはず。$3k-2=1$ とやってしまったのです。 この問題のやり方としては、どこかの係数をそろえてしまってから係数比較が楽です。 yの係数を１にそろえてしまいましょう。 $\dfrac{4k+1}{3k-2}x+y-\dfrac{24k-5}{3k-2}=0$ これならｘの係数、定数項は同じはずです。 $\dfrac{4k+1}{3k-2}=a,-\dfrac{24k-5}{3k-2}=2$ $-\dfrac{24k-5}{3k-2}=2$ より $k=\dfrac{3}{10}$ 。 これを$\dfrac{4k+1}{3k-2}=a$に代入して$a=-2$ というわけです。 例題７９の(2)でも、k=-5を使って直線の式を出すと、$-3x-6y+21=0$ が得られますが、これをー３で割って答になります。ｋの値を代入したからと言って、もっとも簡単な直線の式にはならないことの方が多いです。 ですから $(4k+1)x+(3k-2)y-(24k-5)=0$ が式の上で $ax+y+2=0$ と同じだと考えては間違い！ やってみたら、やっぱりこの問題に限っては交点を求めちゃった方が速いかな(笑)。でもkf+g=0の考えでもできますので自信を持って！ これで大丈夫ですか？ これを読んだら、わかったとか、まだこのへんがわからないとか、コメント欄に返事を書いてください。それがないと、せっかく書いたものを読んでくれたのかどうか、書いたものが役に立ったのかどうか、こちらではわかりませんので。よろしく。２回目以降も同様です。