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円順列
回答
くさぼうぼう ですさんこんにちは。ご回答ありがとうございます。 質問を改めます。 私の解答の第１段階目 「まず， $8$ 個の玉すべてを区別して円形に並べる並べ方を求めると $$\left( 8 −1 \right) ! = 5040 \text{通り}$$ である」 の部分は、 $8$ 個の玉をすべて区別している$\left( \text{赤}_1,\ \text{赤}_2,\ \text{白}_1,\ \text{白}_2,\ \text{黒}_1,\ \text{黒}_2,\ \text{黒}_3,\ \text{黒}_4 \right)$ので、その場合の並べ方は、くさぼうぼう ですさんの「どれか一つを固定してしまい、残りの(n-1)個の順列を考えればいい」の通りに、単純に円順列を考えて $5040$ 通りとして問題ないと思われますがいかがでしょうか？ 次に、私の解答の第２段階目 「次に， $2$ 個の赤玉・ $2$ 個の白玉・ $4$ 個の黒玉の区別をなくすと，区別していた場合の $2! \times 2! \times 4! = 96$ 通りが，区別していない場合の $1$ 通りになる」 の部分は、赤だけの区別を除く場合をまず考えると、円形のテーブルに $T_1$ などの番号を割り振るよりも先に、例えば、時計回りに $\text{赤}_1,\ \text{赤}_2,\ \text{白}_1,\ \text{白}_2,\ \text{黒}_1,\ \text{黒}_2,\ \text{黒}_3,\ \text{黒}_4$ と並んでいる場合は、赤玉同士は入れ替えても同じ並べ方とみることができるから $2 !$ で割る。同様の考え方で白・黒の区別を除く場合を考えた結果、 $2 ! \times 2 ! \times 4 !$ で割ると考えたのです。 ここまでは正しいのでしょうか。この方法で考えると行き詰まるとしたら、どの部分がどのように間違っているかを具体的にご教示いただけるとありがたく存じます。
すみません。TeXの表記のままになってしまいました。念のため書き直しておきます。 くさぼうぼう ですさんこんにちは。ご回答ありがとうございます。 質問を改めます。 私の解答の第１段階目 「まず， 8個の玉すべてを区別して円形に並べる並べ方を求めると(8−1)!=5040通りである」 の部分は、8個の玉をすべて区別している(赤₁, 赤₂, 白₁, 白₂, 黒₁, 黒₂, 黒₃, 黒₄)ので、その場合の並べ方は、くさぼうぼう ですさんの「どれか一つを固定してしまい、残りの(n-1)個の順列を考えればいい」の通りに、単純に円順列を考えて5040通りとして問題ないと思われますがいかがでしょうか？ 次に、私の解答の第２段階目 「次に， 2個の赤玉・2個の白玉・4個の黒玉の区別をなくすと，区別していた場合の2!×2!×4!=96通りが，区別していない場合の1通りになる」 の部分は、赤だけの区別を除く場合をまず考えると、円形のテーブルにT₁などの番号を割り振るよりも先に、例えば、時計回りに赤₁, 赤₂, 白₁, 白₂, 黒₁, 黒₂, 黒₃, 黒₄と並んでいる場合は、赤玉同士は入れ替えても同じ並べ方とみることができるから2!で割る。同様の考え方で白・黒の区別を除く場合を考えた結果、2!×2!×4!で割ると考えたのです。 ここまでは正しいのでしょうか。この方法で考えると行き詰まるとしたら、どの部分がどのように間違っているかを具体的にご教示いただけるとありがたく存じます。
赤玉２個を入れ替えても同じ円順列になる、というのがあなたの考えですが、回答の例で示した通り、入れ替えた２通りの他にも同じ円順列になってしまうものがあるので、「赤の入替えで÷２！」は間違いなのです。(n-1)!からスタートする考え方は、まず１個を固定しなければなりません（これが大事！）。その１個を除いたものの並びは普通の順列と一緒だ、という考えから(n-1)!が始まります。その固定したものに対する位置関係で、同じ円順列になってしまう場合が別々に数えられてしまいます。たとえばまず赤を１個固定し、赤が２こつながっているのは、のこりの七個のものの順列で言うと先頭が赤の場合と最後が赤の場合が、ともに赤２個の連続になります。赤２個を異なるものと考えると合計４個の順列が同じ円順列になってしまうのです！ なかなか言葉では難しいですね。一般に「同じものを含む円順列の数」はそう簡単には解けません。あなたの考えで解けるなら楽なのですがね。もういちど考えてみてください。
同じものを含む円ジュースは(n-1)!から考えても、たぶん無理だと思います。位置関係とか、ぜんたいの対称性だとかを考慮しないと正解にたどり着けません。解答解説は持っていますか？
あはは、円ジュースだって(笑)。円順列です！
笑笑 むかし友人から頂いた問題なので手元に解答解説がありません。申し訳なく存じます。 解答作成の際に、画像の教科書を参考にしました。当問題と本問題の違いはなんでしょうか。ともに同じものを含む円順列だと考えております。
いや、けっこう悩みました。違いがわかったようです。その例題を「A,A,B,B,C,C」にして、そのやり方で計算すると(6-1)!/(2!2!2!)＝１５ですが、正解は１８だと思います。実際に書いたら１８でしたから。どこでずれるかというと、円順列が点対象になるような順列が存在するときです。この時はA,B,Cはそれぞれ対角にあって、A1,A2,B1,B2,C1,C2と区別したとき、AとBの入替え４通りは意味がりますが、Cの入替えでの順列はすでに１８０°回転した状態で出てきています。例題のものでは点対象に並べることはできず、そういう時は解答の別解のやり方で求まります。しかし、今書いたようなものや質問のようなものでは点対象になる順列が行くつか出てきて、こたえがずれます。現に整数にならなかったりしています。点対象になって１８０°回転したものも同じ順列になるような場合は難問だと思います。質問の問題では、赤が２つくっついている場合、赤が離れている場合（間に１個、２個、３個の場合を考えて）を、それぞれ調べれば求まります。う～ん、説明できたかどうか心配！！
やっと理解できました。ありがとうございました。 それにしても場合の数はむずかしいですね。
説明が難しくて困りましたが、もし伝わったのならよかったです。で、肝心の答は出たのですか？いくつになりましたか？
質問本文にて解答を作成し直しました。ご確認お願いします。
追記しました。