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この増減表は何を表してますか
赤で囲った部分の増減表の意味が何となくわかんなくて、x・e^(x+2)+2=f(x)まで分かってて、g'(x)の増減表を書くためにやってるのは分かるんですけど、どうしてこんな表なのかが、なんか、わかんない（語彙力）ので、、詳しく説明して欲しいです……🙇♂️
回答
はちみつさん、こんにちは。ちょっとお久しぶりですね。
さて…この赤の表はあまり気にしなくてもいいし、書かなくてもまったく問題はありません。
たぶんあなたも考えていることでしょうが、この表はg'(x)の正負の判定のための参考です。これなしだってg(x)の増減表のg'(x)の行はていねいに考えれば書けると思いますが、ま、そのような表を書いておくと間違いは少ないですね。
g'(x)の分子であるf(x)の正負と、分母の $(x+2)^3$ の正負がまとめてあれば $g'(x)$ の正負が考えやすいです。
あなたのノートは、その先があるのでしょうか？赤い表はなくてもg'(x)の増減表は書けたのかな？
これで大丈夫ですか？いつものようにコメント欄に返事を書いてください。
いつもお世話になってます🙇♂️ 増減表は書いたのですが、正負が間違っててました、、 ノートでは g'(x)=0とおいて、両辺に(x+3)^3をかけて分母を払い、f(x)の正負の判断をしていたのですが、、それでは出来ないのでしょうか、、、。返信遅くなって申し訳ないです、、 増減表を書く前に、赤い表を書いたら上手く行けました、赤い表を書かずに正負を判断する方法を尋ねてもよろしいでしょうか
まず、分母をはらってはいけません。分母の正負も影響あるのだからなくすわけにはいかないです。赤い表を書かないときは、ー２とαを境目に、分母と分子の正負をそれぞれ考えてg'(x)全体の正負を考えなければなりませんから、つまり、赤い表を頭の中で考えることになります。心配な時はたくさん書いた方がわかりやすいし、間違いが少ないですよね。書く手間と、正解を確実に、というのを天秤にかけて、決めてください(笑)。