複素数と図形

画像の問題の(2)が部分的によくわかりません。 まず、緑下線の箇所について、z＝qのとき ①式は0＝0となって成り立つのはわかるのですが、そうであるからといってz＝qのときもp,qを通る直線を描くといえるのでしょうか？ z＝qのときを除いて考えていたはずなのに、①式が成り立てばz＝qのときも z-p/z-q＝(実数) が成り立つといえる、ということが納得できません。 また、z-p/z-q＝(実数) のとき点zはp,qを通る直線を描く、ということの理由までは理解できていないのですが、どう考えたら良いでしょうか。 さらに、青矢印の箇所について、☆と☆☆の変形がどうしてそうなるのかわかりません。 質問が3点もあって申し訳ありませんが、教えていただけたら嬉しいです。よろしくお願いします。

Milky Wayさん、こんばんは。お久しぶりです！ １番目と２番目は一緒に答えることになりますが。 $z=q$ のときは①が成り立つのですから、①を満たすｚがどんな図形を描くかに関わらず、ｑはその図形上にあるということがわかっているわけです。で、$z\neq q$ のときは2点p,qを結ぶ直線、ただしｑを除く、を描くことがわかりました（後述）。よってｚは2点p,qを結ぶ直線全部を描くことがわかったという事なんですが。 あなたの誤解は「z＝qのときもp,qを通る直線を描く」ということです。z=qのときは、もうｚはただ１点ｑなのです。$z\neq q$ のときはp,qを通る直線を描くことが示せたのです。そこで「あ、点ｑも偶然かもしれないけどその直線に乗っているから、答としてはまとめられるじゃないか、という事なのです。また「①式が成り立てばz＝qのときも z-p/z-q＝(実数) が成り立つといえる」というのも誤解でして、そんなことは言っていません。成り立ちません。「z=qのときも①が成り立つことがわかる」と言っているだけですよ。なかなか書いて説明は難しいですね。 さて、次に、あのような式が実数になった時は直線になる話です。 $\dfrac{z-p}{z-q}=t$ とします。ｔは実数。この式の両辺の偏角を調べます。左辺の偏角はz-pの偏角からz-qの偏角を引いたもの、すなわち偏角の差です。右辺の偏角は０またはπです。z-pは２点ｚとｐを結ぶ線分と同等、z-qは２点ｚとｑを結ぶ線分と同等ですので、その偏角の差が０ならぴったり同じ方向、πなら正反対の方向になっているということです。すなわちp,q,zは同一直線上にあるということがわかります。よって$\dfrac{z-p}{z-q}$　が実数ならｚは直線pq上にあります。はじめから分数の形で与えられていれば点ｑを除いた直線になります。分数にする前の式で与えられたときは、もとの式のz=qを代入してやって成り立っていることを示し、結局直線pq全体ということになります。 青い矢印のところは、その解答の間違いですね。引き算記号になっていますが、かけ算記号ですよ！！ひどすぎますね。これじゃ、これを真面目に読む人は大迷惑だ！！！ ということで、かけ算にしてまじめに展開し、後半の方も真面目に展開してやると、２組が打ち消しあって消えて、のこりがその解答のようになります。もっとも、青い☆の矢印の元の式は大丈夫でした？これも変な書き方になっています。普通ならかけ算している２番目の分数の分母には $(\overline{d}-d)$ が来るところを、妙にマイナスをかけて同じ分母にしていますが、意味ないですね。とおもいます。いったいこれはどこの問題集？模試？ これで大丈夫ですか？わかったとか、まだこのへんがわからないとか、前のようにコメント欄に返事を書いてください。