3変数の最大値

|x-y|,|y-z|,|z-x|の最大のものが5以下の場合と、6以上がある場合に分けて考えるそうですが全く変わりません<>

この問題では$x,y,z$を入れ替えても同じ式になるので、 $$ x \leq y \leq z $$ として解いたらいいと思います。ここで、 $$ \begin{aligned} z &= 10 -(x+y)\\ & \geq 10- (z+z)\\ & =10 -2z \\ 3z & \geq 10 \\ z & \geq 4 (zは整数より) \end{aligned} $$ であり、また、 $$ \begin{aligned} z &= 10 -(x+y)\\ & \leq 10- (x+x)\\ & =10 -2x \\ & \leq 8 \end{aligned} $$ だから $$ 4 \leq z \leq 8 $$ となり、 $$ z=4,5,6,7,8 $$ が候補になります。このzに対する$x,y$の値のパターンは8通りに絞られるので、これらの値を $$ 5\{ (x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2 \} $$ に代入して一番大きいものを答えにすればいいのではないでしょうか。 スタイリッシュではないかもしれませんが、計算も簡単だし、現実的だと思います。