放物線に接する二つの円

こちらの図で、C2とyの交点Qと、C1とyの交点P間が６ということしかわかっていないのですが、どうやって二つの円の半径を求めるのでしょうか。 解説どうかお願いします。

Zobさん、おはようございます。初めての方かな？よろしく。 以下、書き換えました。2023/07/20 11:19 ａ，ｂが自然数だというのはすごく厳しい条件で、これがあればａ，ｂは求まります。 方針を書きます。細かい計算は自分でやってみてください。 ①C₁、C₂の中心のy座標をｔ₁、ｔ₂としておきますね。半径はａ，ｂだから２円の方程式は書けます。 このｔ₁、ｔ₂を使うと、ＰＱの長さはａ，ｂも使って表現できますね。 それを整理してｔ₂ーｔ₁＝a+b＋６。 ②円が放物線に接しているとき、２つの方程式からｘを消去したｙの２次方程式は重解を持つはずです。なぜなら２つの接点のｙ座標は同じなので解は１つしかないはずですから。 Ｃ₁については、$y=x^2,x^2+(y-t_1)^2=a^2$ からｘを消去します。このｙの２次方程式の判別式＝０からｔ₁を求めると $t_1=\dfrac{1}{4}+a^2$ が得られました（計算には自信ないですが）。 同様にＣ₂についてもやると、$t_2=\dfrac{1}{4}+b^2$ が得られます。 ③このｔ₁、ｔ₂を①の最後の式に入れればａ，ｂだけの式ができて、これを満たす自然数解を求めよ、という問題になりますよ！！ $b^2-a^2-a-b=6$ （a,bは自然数） ④この整数方程式を解くのですが、それは大丈夫でしょうか？ 因数分解＝整数という形にします。 $(a+b)(b-a-1)=6$ $a+b>0,a+b>b-a-1$ であることを考慮すれば、 $a+b=6,b-a-1=1$ か $a+b=3,b-a-1=2$ の２通りが考えられ、解いてみると適するものがa=2,b=4だけになって求まりました！！！ ⑤このあとは共通内接線をもとめればいいですね。これは質問されていないので答えませんが（意地悪してるんじゃないですよ。これ以上書くのが大変なんです）、必要なら追加質問してください。 以上、概略ですが、これで大丈夫ですか？ これを読んだら、わかったとか、まだこのへんがわからないとか、計算してもうまくいかないとか、コメント欄に返事を書いてください。それがないと、せっかく書いたものを読んでくれたのかどうか、書いたものが役に立ったのかどうか、こちらではわかりませんので。会話型をめざしています(笑)。よろしく。 なお、差し支えなければ、この問題の出典を教えてください。学校の教材？どこかの入試？