表す式の意味と成り立たない時どうすれば…

2つの隣合う自然数で挟むためにやってるのは何となくわかるんですが、それであっているのでしょうか、、 それからなんか上手く掴めないというか、√3とかだと出来なくて、考え方が違うのか分からないので教えてください。

はちみつさん、こんばんは。 あなたの質問は、いつも自分の頭で考えた独自のもので、感心し、いいなぁと思っています。答える方も、単なる計算の説明と違って、やりがいがあるし難しい。前回のもそうでしたよ。 さて、うまく疑問を解消できるか心配ですが、私の考えを伝えます。 ①連続した整数で挟まないと、整数部分は決まりません。あなたのノートの４行目では「整数部分１１」とありますが、それはまだ決まりませんよ。１１.４かもしれないし、１２.８かもしれないので、整数部分としては１１か１２のどちらか、という結論しか出ません。１１と１３ではなく、連続した整数で挟まなくては決まりません。 ②問題(5)の選択肢２がベストの方法だというわけではなく、これなら（これでも）連続した整数で挟めるという１つのやり方です。２つの平方根の不等式を足して、左辺右辺を連続した整数にするために両方の幅を1/2にして挟めれば、足すと１だけ大きくなれる、というのです。言葉では説明しきれないので、例を示すと、 $m<\sqrt{29}<m+\dfrac{1}{2},n<\sqrt{41}<n+\dfrac{1}{2}$ を満たす整数（自然数）ｍ、ｎを見つけて、２つの不等式を足せば $m+n<\sqrt{29}+\sqrt{41}<m+n+1$ という具合に左辺右辺は連続した整数になるのです。これでも解けるのです。それぞれの不等式を２乗してみれば、ｍ＝５、ｎ＝６がわかりますよ。これで$\sqrt{29}+\sqrt{41}$ を１１と１２で挟めましたね。 ③選択肢２もそれぞれの不等式の左辺右辺は$\dfrac{1}{2}$ ずつの幅があるので、足せば$\dfrac{m+n}{2},\dfrac{m+n}{2}+1$ となって、幅が１になります。これで整数部分は決まります。だから選択肢２が正解。 ④下から３行目、あなたが書いた√３の式では、ｍ＝３が決まるし、√15ではｎ＝７と決まってきます。左辺はなにも整数でなくてもいいのです。 うまくあなたの疑問に答えられたか心配ですが。 これで大丈夫ですか？わかったとか、まだこのへんがわからないとか、コメント欄に返事を書いてください。