数列と極限

数学B&Ⅲの問題です。 授業では与式から左辺をn−1までの式にした式を作り、元の式と差分を取って漸化式を求めて一般項を求めました。ここで差分を取る際はn≧2じゃなきゃいけないので、初項はa₂として初項×公比のn−1乗の形をとって一般項を求めました。僕は1/aₙ＝bₙとおいて和をSₙとして与式を変形し、 Sₙ＝Sₙ₊₁−Sₙ+pとし、この漸化式を解いて一般項を考えようとしたのですが、n≧2という条件を使わずに、出てきた新しい漸化式の初項を求める際に、 普通にn＝1を使って新しくできた漸化式の初項を求め、処理し、そこからいろいろ変形していき、bₙ→aₙと求めて行ったのですが、n＝1の場合を用いているにも関わらず、解答と合致してしまいます。なぜこれが許容されるのか、教えていただきたいです。ちなみに新しく出てきた漸化式の初項はS₁−pのことで、 S₁−p＝b₁−p＝1/a₁−pという風にやっていき、ここに与えられたa₁を代入していました。

勉強太郎さん、こんにちは。初めての方ですね。よろしく！ 質問の主旨はだいたいわかるのですが、回答を書こうと思うと、あなたがやった具体的なものがないので、うまくいきません。また「n＝1の場合を用いているにも関わらず、解答と合致してしまいます」がいまいちはっきりつかめません。 なにを解説、あるいは答えればいいのか悩みます。 ぜひあなたの答案(ノート？)を写真でアップしてくれませんか？ そして「ここが…」のように具体的に言ってもらえるとわかるのですが… とりあえず…Snの式（ｎ≧１）が求まってからｂnを出すところでｂn＝ＳｎーＳn-1をやるので、この時点ではあなたのやり方でもｎ≧２ですよね。それとも、そんなことはしないのかな？ 答の一般項はn=1のときａn＝１，ｎ≧２のとき $a_n=\dfrac{1}{(1-p)2^{n-2}}$ みたいに２本立てになりますかね？ 写真のアップ、待っています。 ＝＝＝＝＝＝＝追加　07/22 21:59＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 写真アップ、ありがとうございます。これであなたがやっていることがよくわかりました。 まず、４行目の末尾に挿入された（ｎ≧２）ですが、これは（ｎ≧１）でいいのではないでしょうか。 n=1の時の式 $S_1=S_2-S_1+p$ は大丈夫ですから。 中味は$b_1=b_2+p$ ということなのでOK。 ですから９行目まではｎ≧１で議論は成り立っています。 １０行目の初めの式もｎ≧１で言えますが、添え字のn+1は２以上なので、次の $b_n=(1-p)2^{n-2}$ と書き換えた時にｂの添え字であるｎはｎ≧２となってしまいますね。単純に番号を１つ下げた、というわけにはいきません。 「よって $a_n=\cdots$」はｎ≧２がつきます。そしてこの数列の残念なところは、n=1ののときにはその式が当てはまらないところです。その式にn=1を代入すれば$a_1=\dfrac{2}{1-p}$ となってしまい、$a_1=1$ にならなくなります。 あなたの答案ではn=1についての議論が足りないわけです。 数列｛$a_n$｝はn=1の場合とｎ≧２の場合では同じ式になりませんね。 また、緑の線の疑問点ですが、そこは単にＳ1というかＳ1ーｐというか、それだけを単に求めているだけで、ｎの範囲とは無関係な話ですよ。Ｓ1を考えるときはもちろん$a_1$ を使うことに問題はありませんよ。 これで大丈夫ですか？ これを読んだら、わかったとか、まだこのへんがわからないとか、コメント欄に返事を書いてください。会話型をめざしています(笑)。よろしく！