相加相乗を使った不等式の証明

(a+1/b)(b+4/b)≧9 解答には左辺を展開してから相加相乗を用いていましたが、下方のように展開せずに()内で相加相乗を用いて証明することはできないんでしょうか。 (a+1/b)(b+4/a)≧(2√a/b)×(4√b/a) (2√a/b)×(4√b/a)≦9

る　の　さん、こんにちは。初めての方ですね。よろしく！ それぞれのカッコごとに相加相乗平均の関係を使うと $(a+\dfrac{1}{b})(b+\dfrac{4}{a})\geqq \Big(2\sqrt{\dfrac{a}{b}}\Big)\Big(4\sqrt{\dfrac{b}{a}}\Big)=8$ となってしまい、証明ができませんね。この間違いは、非常に多いのです。 この原因は、それぞれの相加相乗平均をとった時の、等号成立条件が同じではないからなんです。 はじめの方の相加相乗平均では、等号成立条件は $a=\dfrac{1}{b}$ すなわち $ab=1$ 。このとき＝２になります。 あとのほうでは、等号成立条件は$b=\dfrac{4}{a}$ すなわち $ab=4$ 。このとき＝４になります。 つまり、同時に、前のやつが２になり、かつ後ろの方が４になることはないのです。かけ算しても意味がありません。 ということで、注意：相加相乗平均の関係を使う時には、いつも等号成立条件を押さえながら考える！！ 展開してから相加相乗平均の関係を使う時は、１回だけ使うので、等号成立条件 $ab=\dfrac{4}{ab}$ すなわち $ab=2$ のとき与式＝９となれます。だから≧９といえるのです。 初めての時は、たいていの人があなたのようにやってしまい、困ることが多いです。でもこれを経験したので、これからは気をつけられますね。これで力がついてっていうわけです。間違えるのはいいことです。 さて、これで大丈夫ですか？ これを読んだら、わかったとか、まだこのへんがわからないとか、コメント欄に返事を書いてください。 それがないと、せっかく書いたものを読んでくれたのかどうか、書いたものが役に立ったのかどうか、こちらでは分かりませんので。よろしく！２回目以降も同様です。