数列

この太文字の式が、なぜそのようになるかわかりません！！ 解説お願いします🙇‍♀️

こんばんは。初めての方ですね。よろしく！ この問題の全部が見えてないので困っています。とりあえず一般項が $a_n=\dfrac{1}{n(n+2)}$ と求まったのですね。 このような数列（分母が積になっている）和を求めようとしたときに、過去に部分分数に分解した記憶があれば、「よし、これも分解してやろう」という方向になるのですが、そういう体験がないと、なぜそんな方向に気がつくのかわからないですよね。「この手の数列の和は部分分数に分解してやるとうまく消えてくれて楽になるのだ」ということをこの問題で体験して、頭に入れとくといいです。 さて、あなたが「部分分数に分解する」ということを学習済みなのかどうかがわからないので、どこからせつめいすればいいのか迷っています。一般的な分解の方法はどこの章でやるのか忘れてしまいましたが、とりあえず分子が式でなく数の場合だけ説明しておきますね。 $\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}=\dfrac{5-3}{3\times5}=\dfrac{2}{3\cdot5}=\dfrac{2}{15}$ だから、 $\dfrac{1}{15}=\dfrac{1}{3\times5}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2}{15}=\dfrac{1}{2}\Big(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}\Big)$ 後半が「$\dfrac{1}{15}$ を部分分数に分解したら$\dfrac{1}{2}\Big(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{5}\Big)$になる、ということです。 分母がAとBの積になっているとき、その値を変えずに分母がAの分数と分母がBの分数の和や差に分けることを部分分数に分解する、といいます。 この数列の一般項の分母がｎとn+2の積になっているので、分母がｎの分数と分母がn+2の分数の差にしたいなぁ、という気持ちをまず持ちます（これが大事。その気持ちがないとこんな分解をしてみようとはしないよね）。 以下、完璧な説明です。面倒ですが読んでください。 $\dfrac{1}{n(n+2)}=\dfrac{P}{n}-\dfrac{Q}{n+2}$ と分解できたとして、これからP,Qの値を求めます。 $\dfrac{1}{n(n+2)}=\dfrac{P}{n}-\dfrac{Q}{n+2}=\dfrac{P(n+2)-Qn}{n(n+2)}=\dfrac{(P-Q)n+2P}{n(n+2)}$ なので、分子は同じはずだから比較して、$P-Q=0,2P=1$ 。これより$P=Q=\dfrac{1}{2}$ よって、$\dfrac{1}{n(n+2)}=\dfrac{\frac{1}{2}}{n}-\dfrac{\frac{1}{2}}{n+2}=\dfrac{1}{2}\Big(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+2}\Big)$ 部分分数に分解することを知らないと、毎回これをやることになります。でも一般的には $\dfrac{1}{A(A+p)}$　を今のようにちゃんとやってやると $\dfrac{1}{A(A+p)}=\dfrac{1}{p}\Big(\dfrac{1}{A}-\dfrac{1}{A+p}\Big)$ という結果がえられますので、これを公式として使います。 この問題ではＡはｎ、ｐは２ということです。解答を書いた人はこの公式を知っているのです。それで一気に結論が書けたのです。 これを使えば、$\dfrac{1}{(n-1)(n+2)}=\dfrac{1}{3}\Big(\dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n+2}\Big)$ といっぺんに分解出来てしまいます。あ、この場合は、公式のＡがn-1、ｐが３の場合になります。すごいでしょ！ 部分分数に分解することは、このあと積分などでも使います。分子も式になります。それでも考え方は、上の「完璧な説明」のようにやればできます。いずれ出てきたときに思い出してください。 以上、長くなりましたが、なんとかがんばって理解してください！ 「部分分数に分解」で検索すれば、やり方、考え方はたくさん出てきますよ。いくつか読んでみるといいです。 これで大丈夫ですか？ これを読んだら、わかったとか、まだこのへんがわからないとか、コメント欄に返事を書いてください。 それがないと、せっかく書いたものを読んでくれたのかどうか、書いたものが役に立ったのかどうか、こちらではわかりませんので。よろしく！２回目以降も同様です。