サイコロゲームで期待値と対価についての例題

問題を出題されたのですが、答えが見つからず困っています。 考え方と解答を教えていただけますか？ 以下のようなゲームが存在する ・サイコロを振り、4以上が出れば1円与えられ、かつもう一度サイコロが振れる。３以下が出れば何ももらえず、ゲーム終了 ・二度目のサイコロを振り、4以上が出れば２円与えられ、かつ更にもう一度サイコロが振れる。３以下が出れば何ももらえず、ゲーム終了。ゲーム終了時にこれまでの取り分は返還せず自分のものとなる。 ・三度目のサイコロを振り、4以上が出れば４円与えられ、かつ更にもう一度サイコロが振れる。３以下が出れば何ももらえず、ゲーム終了。ゲーム終了時にこれまでの取り分は返還せず自分のものとなる。 ・3以下が出るまでゲームは終わらない ・以降、四度目は8円、五度目は16円、六度目は32円、と与えられる金額は倍々で増加。ゲーム終了時にこれまでの取り分は返還せず自分のものとなる点も含め、その他のルールは上記と同じ （１）計算上、このゲームには何円の価値があるか、計算式明示のうえ述べよ。 （２）貴方はこのゲームに幾らまでなら支払うか、理由、計算式明示のうえ述べよ。

千賢さん、こんばんは。初めての方ですね。よろしく！ この問題をある程度やってみて「答が見つからず」とおっしゃっているのだと思います。できれば、あなたのやり方でどこまでやったのか、なぜ答が見つからないという表現になったのかを見せていただいて質問していただけると助かります。 そもそも（１）と（２）の答が異なるんだろうか、というところからして疑問はあるのですが。できれば（１）と（２）の違いを教えてくださいね。 以下、私がやったものを書きますが、合っている保証はまるでないです。あなたのやり方と同じなのか違うのかをあとで教えてください。 「何円の価値があるのか」という問いかけはあまり見ませんが、このゲームをしたときに得られる金額の期待値ということかと思いますので、期待値の定義にしたがって求めてみます。 n回さいころを振って終わる確率を $p_n$ 、その時に得られる金額を$X_n$ とします。 $p_n=\Big(\dfrac{1}{2}\Big)^{n-1}\Big(\dfrac{1}{2}\Big)= \Big(\dfrac{1}{2}\Big)^n$ $X_n=2+2^2+2^3+\cdots +2^{n-1}=\dfrac{2(2^{n-1})}{2-1}=2^n-2$ なので、 期待値$=\sum_{n=1}^{\infty} \Big(\dfrac{1}{2}\Big)^n(2^n-2)$ $=\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{2^n-2}{n^2}=\sum_{n=1}^{\infty}\Big(1-\dfrac{1}{2^{n-1}}\Big)$ これは無限大に発散します。よってこのゲームは無限の価値がある？？？？ よっていくら投資しても大丈夫？？？？ こうなってしまいました。 あなたはどうなったのでしょうか？同じですか？ コメント欄に返事を書いてください。（１）と（２）の違いもね。 ひょっとして、問題が間違っていませんかね。「４以上」ではなく「５以上」なら答は出ますね。