微分

赤い線のところどこから出てきたのか分からないです

割り算して数列の総和から求められます。 　$ x^n -a^n$ 　$ = (x-a) (x^{n-1} + ax^{n-2} + a^2x^{n-3} + \dots + a^{n-1})$ より 　$\dfrac{x^n -a^n}{x-a} = x^{n-1} + ax^{n-2} + a^2x^{n-3} + \dots + a^{n-1}$ よって 　$ \lim_{x \to a}\dfrac{x^n -a^n}{x-a} = na^{n-1}$ または、ロピタルの定理を使って、 　$ \lim_{x \to a}\dfrac{x^n -a^n}{x-a} = \lim_{x \to a}\dfrac{(x^n -a^n)^\prime }{(x-a)^\prime}$ 　　　　　　　　　$=\lim_{x \to a}\dfrac{nx^{n-1}}{1}$ 　　　　　　　　　$=na^{n-1}$