複素数平面　と　解と係数の関係

数学IIIの複素数平面の問題です。 写真のところまでは行けたのですが、γとαの実部の位置関係がわかりません。位置関係がわかるとαをγで表せると思うのですが、、どのようしたら求められるのでしょうか？ よろしくお願いします。

太郎さん、こんにちは。 あなたの考えからなんとか解きました。 そのような図になることは分かりました。 あなたは２つの図を書いていますが、これはどちらになるかわからないし、この段階では決まらないようです。決めようとしないで、両方の場合をひっくるめて考えましょうか。図の中の３０°６０°の直角三角形に着目すれば、 実軸上の短い辺の長さは $|(2-\dfrac{\gamma}{2})-\gamma|=|2-\dfrac{3}{2}\gamma|$ ですから、 うえの方の複素数の虚部は $\sqrt{3}|2-\dfrac{3}{2}\gamma|$ 上下どちらをαにしても問題はないので、 $\alpha=(2-\dfrac{\gamma}{2})+\sqrt{3}(2-\dfrac{3}{2}\gamma)i$ これをもとに $\alpha\beta\gamma=8$ に代入して整理すると $7\gamma^3-20\gamma^2+16\gamma-8=0$ がえられ、この実数解は $\gamma=2$ となります！ この値を使えば残るα、β、ｋも定まり、 $\alpha=1-\sqrt{3}i,\beta=1+\sqrt{3}i,k=8$ が求まります。 以上、あなたの途中までをお借りして解けました。 ただ、いまだに疑問なのは、変な条件式から$\dfrac{\beta-\gamma}{\alpha-\gamma}=\omega$ をどうやって求めたか、というより、どういう方針で変形していったのかです。結果が分かっていれば、$p^2+p+1=0$ の形に持ち込めてp=ωと分かることはできます。ひょっとしてこの問題の前に小問があったりしてます？ この＝ωの式を発見しないで、どうやって解くのかはまだ分かりません これで大丈夫ですか？コメント欄に返事を書いてください。