絶対値を含む定積分

どのように場合わけをして求めるかまでは理解できたのですが赤丸の2倍をしている意味がわかりません。 普通に面積を求めようとするとかなりの計算量になってしまいます。 どのようにすればいいのでしょうか。

ryuさん、こんばんは。初めての方ですね。よろしく！ その式は(1)の場合の式ですね。 いろいろ計算方法は考えられますが、これはうまい方法ですね。 定積分で面積が求まるのは、あくまでも関数値が正の場合です。関数値が負になる部分での定積分はマイナスの面積になります。これは大丈夫ですか？ 説明上、$x^2-\cdots$ の式をA、$-x^2+\cdots$ の方をBとします。 Aを０から２まで積分すると、０から１までは正の面積（普通の面積）$S_1$、１からｔまでの部分は負の面積$-S_2$になります。ｔから２までは正の面積$S_3$です。ですからＡを０から２まで定積分すると$S_1+(-S_2)+S_3$ を計算したことになります。$(-S_2)$ の量を $+S_2$ にするためには$S_2$ の２倍を足せばいいですね。 $S_1+(-S_2)+S_3+2S_2=S_1+S_2+S_3$ これでその面積が求まるわけです。巧妙なやり方です。 プラスの $S_2$ は、Ｂを１からｔまで積分すれば求まりますね。Ｂは１からｔまでの間は値が正ですから。 これでわかりますか？ （なんならＡを０から２まで積分したものから、Ａを１からｔまで積分したものの２倍を引いても同じ結果です。） このやり方だと、Ｂを１からｔまで定積分した値は６分の１公式で求まってしまうし、なかなかうまい手です！この形の面積を計算するときのテクニックとして覚えておくとよさそうですね。 これで大丈夫ですか？ これを読んだら、わかったとか、まだこのへんがわからないとか、コメント欄に返事を書いてください。それがないと、せっかく書いたものを読んでくれたのかどうか、書いたものが役に立ったのかどうか、こちらではわかりませんので。よろしく。２回目以降も同様です。 会話型をめざしています(笑)。