座標平面

座標平面の問題です。 3次方程式が出てきて詰みました。。。

$C$：　$y=x^2-kx \dots$ ① $\,\, \ell$：　$y=(\tan\theta)x \dots$ ② とおいて以下の図１を眺めながら解いてみます。 (1) ②より 　$y^\prime=2x -k \dots$ ③ ③に $x=0$を代入すると 　$y^\prime_{(x=0)}=-k$ これは原点$\rm O$での接線の傾きであり、直線 $\ell_1$ の傾き $-\dfrac{1}{3}$に等しいことから 　$k=\dfrac{1}{3}$ (2) まず交点$\rm P$の $x$座標を求める。①②より 　$x^2-\dfrac{1}{3}x=(\tan\theta)x$ これを解いて $x=0$以外が $\rm P$の $x$座標なので 　$x=\tan\theta +\dfrac{1}{3}$ これを③に代入して交点$\rm P$における放物線$C$の接線の傾きを求めると 　$y^\prime_{(x=\tan\theta +\frac{1}{3})}=2\Bigl(\tan\theta +\dfrac{1}{3}\Bigr)-\dfrac{1}{3}$ 　　　　　　　$=2\tan\theta+\dfrac{1}{3}$ これが直線 $\ell_2$ の傾き $\tan2\theta$ に等しいので 　$2\tan\theta+\dfrac{1}{3}=\tan2\theta$ これを解く 　$2\tan\theta+\dfrac{1}{3}=\dfrac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}$ $t=\tan\theta$ とおくと 　$2t+\dfrac{1}{3}=\dfrac{2t}{1-t^2}$ 　$6t^3+t^2-1=0 \dots$ ④ さてこの３次方程式を解くのですが、この式を満たす因数を見つけて因数分解して解きます。 この因数候補は $\pm1, \, \, \pm\dfrac{1}{2},\,\, \pm\dfrac{1}{3},\,\, \pm\dfrac{1}{6}$ （※下方で理由を説明します） この中から④を満たす因数は $t=\dfrac{1}{2}$　なので、④左辺を $2t-1$で割り算して因数分解する 　$(2t-1)(3t^2+2t+1)=0 \dots$ ④$^\prime$ ここで、$3t^2+2t+1=0$ の判別式は 　$D=2^2-4\times3\times1=-8 <0$　⇒　実数解なし なので、④$^\prime$の解は $t=\dfrac{1}{2}$ のみ。 よって、 　$\tan \theta =\dfrac{1}{2}$ (3) 傾き $m_1, \,\, m_2$ の２直線のなす角を $\alpha$ とすると 　　$\tan \alpha=\dfrac{m_1 - m_2}{1+m_1 m_2}$ であることを使います。 直線 $\ell_1$ の傾きは $-\dfrac{1}{3}$ 直線 $\ell_2$ の傾きは 　$\tan2\theta=\dfrac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}=\dfrac{2\cdot \dfrac{1}{2}}{1-\Bigl(\dfrac{1}{2}\Bigr)^2}=\dfrac{4}{3}$ よって 　$\tan \alpha =\dfrac{\Bigl(-\dfrac{1}{3}\Bigr)- \dfrac{4}{3}}{1+\Bigl(-\dfrac{1}{3}\Bigr)\cdot \dfrac{4}{3}}=-3$ $\blacksquare$ 3次方程式を解く際の因数候補の見つけ方 例えば、$P(x)=ax^3+bx^2+cx+d=0$であれば、 $P(\alpha)=0$ となる因数 $\alpha$ の候補は以下です。 　$\pm \dfrac{\, d の約数}{\, a の約数}$ （理由） $P\Bigl(\dfrac{q}{p} \Bigr)=0$ のとき、$P(x)$ は $px-q$ で割り切れるから以下が成り立ちます。 　$P(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ 　　$=(px-q)(lx^2+mx+n)$ 　　　（係数は全て整数） 両辺の $x^3$ の項と定数項を比較すると 　$a=pl$ 　$d=-qn$ よって因数 $\alpha$ の候補は 　$\dfrac{q}{p}=\pm \dfrac{\, d の約数}{\, a の約数}$