数Aです

問313の問題が分かりません。 特に、解説部分の　a1a3...a8a3は全て30とお互いに素であるから、a1a3...a8a3の8個の数を30で割った余りの集合は、a1...a8に一致するという部分が、分かりません。 教えて下さい。

一つずつみていきます。。。 解説にあるとおり、、、 「$a_1a_3, \, \dots , \, a_8a_3$ を 30で割った余りはすべて異なる」　$\dots$ ① 「$a_1a_3, \, \dots , \, a_8a_3$ はすべて30と互いに素」　$\dots$ ② ②のことから、 「$a_1a_3, \, \dots , \, a_8a_3$ を 30で割った余りはどれも 30と互いに素」　$\dots$ ③ です。 なぜなら、、、 例えば $a_1a_3$ を30で割った余りが30と公約数をもっていたとすると、以下の式のように $q$ が30と公約数を持つことから $a_1a_3$ が 30と公約数を持つことになり、②と矛盾します。 　$a_1a_3 = 30m + q$　（$m, q$ は自然数で、$1 \leqq q \leqq 29$） よって③が成り立ちます。 以上、①③のことから次が成り立ちます。 「$a_1a_3, \, \dots , \, a_8a_3$ を 30で割った余りはすべて異なっていて、いずれも 30と互いに素」$\dots$ ④ そしてこの数は8個あります。 また(1) のことから、、、 「30以下かつ30と互いに素な数は $a_1$ ～ $a_8$、 とすべて出しつくしていて、この8個以外にはない」　$\dots$ ⑤ よって④⑤から以下のことが言えます。 「$a_1a_3, \, \dots , \, a_8a_3$ を 30で割った余りの集合は $a_1, \, \dots , \, a_8$ に一致する」 そのあとは、解説の最後４行「以上より・・・」にあるとおりですが、 「$a_3\,^8-1$ が30で割り切れる」 ＝「（$a_3=11$ と置き換えて）$11^8 -1$が 30で割り切れる」 ＝「$11^8$ を30で割った余りは 1」 となります。