媒介変数表示と最大最小

この78の問題を画像のようにといたのですが、上手くいきません。何処で間違えたが教えて頂けないでしょうか？ また、解答ではsin cosの置き換えを用いて解答をしているのですが、どのような過程で、この解法を選ぶという結論に至るのかおしえていただけないでしょうか？ 宜しくお願い致します。

音弥さん、こんばんは。 順番は違いますが、まずはサインコサインの話です。 これは、楕円のパラメータ（媒介変数）表示の代表的なものですから、覚えます。放物線や双曲線のパラメータ表示もそれぞれあるのですが、それよりも楕円の場合にはよく使います。 楕円 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ は、パラメータθを用いて $x=a\cos\theta,y=b\sin\theta$ と表せる 楕円が出てくる問題では、よく使います。こう置くことによって、２つの変数ｘ、ｙが１つの変数θだけになり、とても便利な場合がよくあります。どの章で学習するのかは忘れましたが。２次曲線かな？ つぎ、あなたのどこが間違っているのかという質問ですが、ノートの赤い✖は？ 初めの✖は間違ってないですね。２番目の✖は確かに違うようです。 あなたの答案をみると、どうやらまだ解法の方針が定まっていないのかなと感じました。 あなたのやり方で間違いというわけではありません。接線であることからａ，ｂの関係式をまず求めますね。でも、その計算が間違ってます、残念ながら。ノート左側下から２行目、展開したら $+\dfrac{1}{4}$ が出てくるのに書いてないです。ま、ここを正しく計算すれば、ａ，ｂの関係式が得られるはずですね。これを①とします。 次に、ｒ、いやそれよりも $r^2$ をａ，ｂの式で表し、そこに①の結果を使えば、ａ（またはｂ）だけの式なります。これで $r^2$ がａの関数で表せたので、あとは微分とかで最小値を求めよう。と進むはずですね。 やってみてください。そうとう大変な式になり、微分するだけで嫌になりそうだし、導関数＝０を見つけるのも大変そうです（やってないけれど）。たぶんこの方針で突き進んだら、計算間違いでダメになるか、時間がかかり過ぎてもったいないか。 といいうわけで、楕円での定石「楕円 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ は、パラメータθを用いて $x=a\cos\theta,y=b\sin\theta$ と表せる」は身につけましょうね！ これで大丈夫ですか？いつものようにコメント欄に返事を書いてください。 ========================================= 追加の写真、見ました。ノートの１枚目、右側の上の方、 $b=\sqrt{4a^2-1}$ がどこから出てきたのか途中がないのでわかりませんが、ひょっとして$b=\sqrt{4a^2+1}$ ではないでしょうか？ それからf(a)はｒのようですが、r^2をf(a)とした方が微分は楽ですよ。ｒの最小値はr^2の最小値のルートと一致しますので。 さらに追加：＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 大発見です！！ $r^2=f(a)=b^2+\dfrac{b^2}{a^2}=b^2(1+\dfrac{1}{a^2})$ $=(4a^2+1)(1+\dfrac{1}{a^2})=4a^2+\dfrac{1}{a^2}+5$ ここで相加相乗平均の関係を使うと、なんと $\leqq 2\sqrt{4a^2 \cdot \dfrac{1}{a^2}}+5=4+5=9$ よって$r^2 \leqq 9$ すなわち $r \leqq 3$ で、ｒの最小値は３！！！ なんと、微分せずに、相加相乗平均の関係を使うことで最小値が求まってしまいました。これはすごい！ 等号成立条件を確認して、答案を書けば完璧です。 あなたのやりかたで、こんなふうに解けるなんて想像していませんでした。 これで大丈夫ですか？