数列について

a[n+1]-n=4(a[n]-n+1) が成り立つ時初項a[1]=-2の時の一般項a[n]を導け。 解き方が最初から全く分かりません😭 出来るだけ分かりやすく教えてくださると嬉しいです！

この問題は 　$a_{n+1}=pa_n+ f(n)$ （$f(n)$ は $n$ の1次式） の形の漸化式の問題です。これを 　$a_{n+1}-g(n+1) =p \{ a_n-g(n) \}$ （$g(n)$ は $n$ の1次式） の形に変形して公比 $p$ の等比数列として解くとよいです。 　$a_{n+1}-n=4(a_n-n+1) \dots$ ① 　$a_1=-2$ ①の式を 　$a_{n+1}-\{\alpha (n+1)+\beta\}=4\{a_n-(\alpha n+\beta)\} \dots$ ② の形に変形できるように実数 $\alpha, \,\, \beta$ を定めます。 なぜこのように変形できるとよいかというと、 　$A_n=a_n-(\alpha n+\beta)$ とおくと②は 　$A_{n+1}=4A_n$ となり、$A_n$が初項 $A_1$ 、公比 $4$ の等比数列として求められるからです。 それでは、②に変形できるよう実数 $\alpha, \,\, \beta$ を求めましょう。 ②を整理すると 　$a_{n+1}=4a_n -3\alpha n + \alpha -3\beta \dots$ ③ ①も整理して 　$a_{n+1}=4a_n-3n+4 \dots$ ①$^\prime$ ③①$^\prime$ より $\Bigl\{ \begin{array}{l} -3\alpha=-3 \\ \alpha -3\beta=4 \end{array} $ これを解いて $\Bigl\{ \begin{array}{l} \alpha=1 \\ \beta=-1 \end{array} $ ゆえに、②は 　$a_{n+1}-\{(n+1)-1\}=4\{a_n-(n-1)\} \dots$ ④ と変形できる。 　$A_n=a_n-(n-1) \dots$ ⑤ とおくと④は 　$A_{n+1}=4A_n$ となるので 　初項 $A_1=a_1-(1-1)=-2$ 　公比 4 の等比数列である。よって 　$A_n=-2\cdot4^{n-1}$ これを⑤に代入して $a_n$ を求めると 　$a_n =-2\cdot4^{n-1} +n-1$