このサイトはお使いのブラウザでは正常に動作しません。Google Chromeなど、別のブラウザを使用してください。

場合の数

    菅 めぐみ (id: 2371) （2023年8月16日6:42）
    0 0
    数学の問題で下記の解き方を教えて下さい。 A、B、C、D、E、Fの6人が一列に並ぶ。 下記①〜③全ての条件を満たす場合、並び方は何通りありますか？ ①AはBより必ず先に並ぶ。 ②Cは3番目以降に並ぶ。 ③必ずFはAとDの後ろに並ぶ。 6人の並び順が条件なしであれば、6！で720通りあり、そのうち①の条件となるのは、6！／2！で360通りとなるのはわかるのですが、更に②と③の条件が重なる場合の考え方が解りません。 よろしくお願い致します。
    くさぼうぼう : (id: 1236) （2023年8月16日10:19）
    0 0

    すみません、正解や解答をお持ちなら、追加で写真アップしていただけませんか？

    菅 めぐみ (id: 2371) （2023年8月16日12:54）
    0 0

    解説は記載されておりませんが、答えは100通りとのことです。

    回答

    ABC (id: 1164) （2023年8月16日7:12）
    0 0
    ①かつ②は、その360通りから「Cが1,2番目に並ぶ」場合を引きます。$2(5!/2)$通りを引く事になります。 ↑かつ③は、①と同様に、3で割ります。(ADFらの並びの中から、ADF,DAFのみを選ぶので)
    くさぼうぼう : (id: 1236) （2023年8月16日10:17）
    0 0

    すみません、ABCさんに質問です。最後、３で割る、とありますが、それでいいのか疑問が生じています。例えばADFらの並びでも、６番目の位置にAがきている並びは①でなくなっていますよね。たとえば２，４，６番にADFらがくる場合では、ADF,AFD,DAF,DFA,FAD,FDAの６個はなく、ADF,AFD,DAF,FADの４個しかなく、適する並びは半分の２個。すみません、まだ私は解けていないので、横からの質問をお許しください。

    だいすう (id: 2318) （2023年8月16日11:29）
    0 0

    Aの制約が強いので、Aの位置によって場合分けします． ①まず、Aの後にはBとFの2つが必ずあるのでAの位置は１番目から４番目です． ②Aが4番目にあるとき BとFが5番目か6番目（2通り）、Cは3番目（条件２より）、DとEは1番目か2番目（2通り）→4通り ③Aが3番目にあるとき 4から6番目はBorCorF（3!=6通り）、1、２番目はＤかＥ（2通り）→12通り ④Aが2番目にあるとき これはＤの位置も考えて、 (i)Dが1番目にあるとき、3から6番目はBorCorEorF（4!=24通り） (ii)Dが3番目のとき、Ｅが1番目、残りを並べて、（3!=6通り） (iii)Dが4番目のとき、Fが5or6番目、3～6番目の余った2か所にBorC、1番目にＥ（2*2=4通り） (iv)Dが5番目のとき、Ｆが6番目、Ｅが1番目、BorCを並べて、（2通り） ⑤Aが1番目にあるとき、④と同様にＤの位置も考えれば、 24(Dが2番目）+12（Ｄが3番目）+８（Ｄが4番目）+4（Ｄが5番目） これらから自分の計算では100通りとなりました

    だいすう (id: 2318) （2023年8月16日11:30）
    0 0

    答えいただけるとありがたいです！

    菅 めぐみ (id: 2371) （2023年8月16日12:53）
    0 0

    皆さま お忙しいところ、ご解答いただきまして、ありがとうございます。 この問題は子供の通っている塾のおまけの問題で、解説が答えに書かれておりませんでしたが、答えは100通りとのことです。 だいすうさんのお答えが正解なので、いただいた解説を見ながら、頭を整理してみたいと思います。 皆さまのコメントを拝見しまして、難しい問題であることがわかりました。 ありがとうございます。

    だいすう (id: 2318) （2023年8月16日14:11）
    0 0

    答えありがとうございます！ 解き方としてはくさぼうぼうさんのほうがエレガントですね． 下の質問ですが、 (iii)で、ABDFをすべて同じもの（◆とします）と考えて、CとEと◆4つを並べています． この並べ方は、4（Cの並べ方、3から6番目に入れる）×　5!/4!（Eと◆4つの並べ方、同じもの順列）=20通り 今、このように並んでいます．◆E◆C◆◆（←例） ここで、(ii)で考えたA,B,D,Fの並べ方「5通り」を、◆4つに、『前から順番に』入れていきます。 前から順に入れていくため、ABDFは含まれていません．（(ii)で考えていないから） よって答えは20×5＝100通りとなります 最後の掛け算がくさぼうぼうさんと違いますが、↑の自分の解答が(iii)を先にやってるせいです．

    菅 めぐみ (id: 2371) （2023年8月16日14:27）
    0 0

    だいすうさん 追加の質問に対しても、ご丁寧にありがとうございます！ （ⅱ）で条件③に合わない選択肢は除外できている計算なのですね。 始めにいただいたご解答でも、理解できました。 検索しても同じような例題が見つからず、途方に暮れておりましたので非常に助かりました。 だいすうさんもくさぼうぼうさんも、本当にありがとうございました。

    だいすう (id: 2318) （2023年8月16日15:01）
    0 0

    前から順に入れていくため、ABDFは含まれていません． →正しくはABFDです．すみません． お役に立てたならよかったです！

    くさぼうぼう : (id: 1236) （2023年8月16日11:51）
    0 0
    めぐみさん、こんにちは。初めての方ですね。よろしく！ 初めての質問なのに、いろいろ回答があって困りますね。といいながら、私も回答します。正解をお持ちなら、ぜひそれを教えてください。違っていれば私のは引っ込めますので。 (i)　制限がついたA,B,D,FとCについてまとめて考えてしまいます。たいていの場合はそれぞれの制限を順に攻めていけばいいのですが、この問題はダメみたいです。 (ii)　まずA,B,D,Fの「並び順」だけを考えると、Fが３番目にある時はADFB,DAFBの２通り。Fが４番目にあるときはABDF,ADBF,DABFの３通り。 よって４文字A,B,D,Fの「並び順」は2+3=５通りがあります。 (iii)　いよいよ全体を考えますよ。１～６番まであって、Cが３番の時を考えます。このとき、残りの席は５個。この５か所から４か所を選んで、そこにABDFを入れます（5通りの入れ方で）。（最後に残ったところはEになります。これは気にしなくていい。) $_5C_4 \times 5=25$ 通りがあります。 (iv)　同様に、Cが４，５，６番目に入るときもそれぞれ２５通りあります。 よって適する順列の数は２５×４＝100通り。 だいすうさんと同じです。 正解をお持ちなら教えてください。また解説もあるなら写真でアップしてください。 これで大丈夫ですか？ これを読んだら、わかったとか、まだこのへんがわからないとか、コメント欄に返事を書いてください。会話型をめざしています(笑)。よろしく。
    だいすう (id: 2318) （2023年8月16日12:08）
    0 0

    (ii)の並べ方はくさぼうぼうさんのADFB,ABDF,ADBF,DABFに加えてDAFBも適するのではないでしょうか．

    くさぼうぼう : (id: 1236) （2023年8月16日12:54）
    0 0

    はい、さっき気がついて追加しました！ありがとうございます。

    菅 めぐみ (id: 2371) （2023年8月16日13:26）
    0 0

    くさぼうぼうさん だいすうさん ありがとうございます。 （ⅱ）の5通りというのは、理解できました。ここでABFDがないのは条件③に合わないから（★） （ⅲ）でCを除く5箇所を、ABDFの四人で選ぶということから、5C4というのはわかるのですが、この式で（★）の選択は除外されているのかが解りませんでした。選択肢に入ってはいけない、ABCFDEとABCFEDは（ⅲ）の計算で除外されるのでしょうか。 質問が解りづらく、申し訳ございません。

    回答する