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背理法での証明です
途中までやってみましたが解けませんでした。
詳しく教えて欲しいです。
（追記: 2023年8月20日16:31）
遅くなりましたが、答えが完成しました！
間違いなどありましたら教えて欲しいです🙏
（追記: 2023年8月21日22:12）
最新版です！
チェックお願いします。
回答
hinaさん、こんばんは。初めての方ですね。よろしく！
背理法は結論の否定から入るのですが、残念ながらその否定が間違っていますね。
「ともに奇数」の否定は「ともに偶数」ではなく、「少なくとも一方が偶数」です。
今の問題では、既約分数としてありますので、両方ともに偶数はありませんので、どちらか一方が偶数」ということから始めたらいいかと思います。それと、あなたが書いた最後の式全体をｐ²倍して、偶奇を調べてみてください。０は偶数です！
それでやってみて、つっかえるようなら、コメント欄に書いてください。そこまでのノートもアップしてくださいね。
とりあえず、ここまでにしておきます。
がんばってやってみてください。
（ぜんぶ書いて教えちゃう場合もありますが、なるべくならヒントや間違いの指摘で、あとは自力でやってほしいのです）
（追記: 2023年8月20日18:02）
ひなさん、こんにちは。
答案、拝見しました。残念ながら、これではちょっとまだ…ですので、添削します。
まず、背理法の書き出しですが、
「有理数の解q/pを持ち、どちらか一方が偶数であるとする。」と始めないと、最後に「よってどちらか一方が偶数と仮定したことが誤り。ゆえにp,q両方とも奇数である」と言えなくなりますよ。ここは論理ですので、絶対に論理的にね(笑)。
次、両辺をｐ²倍しているのですから、ｃもｐ²倍してください！これはケアレスミスかな。
その後は、ｐが偶数の時、ｑが偶数の時と場合分けをして、各項ｑ²ａ、pqb、ｐ²ｃの偶奇をしらべ、その３つの項の和の偶奇を調べ、右辺が０すなわち偶数であることと矛盾が生じないかを考えるのです。矛盾が出るはずです。
そういうわけで、できればもう一度書き直してアップしてください。チェックしますからね！
（追記: 2023年8月21日22:34）
２回目の写真、拝見しました。ほぼそれでいいと思いますが、言葉遣いなど少しだけ直しますね。論理的には大事なことなので。
（１）の(i)の２行目
ｑ²ａは奇数、pqb、ｐ²ｃは偶数なので右辺は奇数。
＜一応３つの項の偶奇は明記しましょう＞＜右辺ですね＞
(ii)も同様ですよ。
それ以降の文はとてもいいです！
（２）は（１）を使っていいので、最初の１，２行は書かないでいいですね。
「（１）より、有理数の解q/pを持つとするとｐ、ｑともに奇数である。
このとき①の右辺は奇数で、右辺は偶数なので矛盾。
よって有理数の解は持たない」
っていうくらいかな。
これで大丈夫ですか？お疲れさまでした！またどうぞ。
まだ疑問が残っているようなら、さらにコメントなどでどうぞ。
下の回答に追記しました。読んでください。