2乗の平均の平方根と算術平均の不等式

n個の数a,b,c,d,...(>0)に対して ((a^2+b^2+c^2+...)/n)^(1/2)≧(a+b+c+d+...)/n が常に成り立つようですが、どのように証明できるのでしょうか？ 与えられた式を変形していきました。 a^2+b^2+c^2+... ≧(a+b+c+d+...)(a+b+c+d+....)/n =(a+b+c+d+..)x A ( A = a,b,c,d...の平均) =Aa+Ab+Ac+Ad +... ここまで変形して、止まってしまいました。

たいぼくさん、こんにちは。初めての方ですね。よろしく！ これは、コーシーシュワルツの不等式で証明できます。学年がわからないので、何とも言えませんが、高校生なら数ⅠかⅡで出てくるかと思いますが。 まずは証明したい不等式を変形してみます。 両辺とも正だから、２乗して比較しても大丈夫。 ２乗した式の両辺に正の数$n^2$ をかけても大丈夫。となって $n(a^2+b^2+c^2\cdots)\geqq(a+b+c+\cdots)^2$ これを $(1^2+1^2+1^2+\cdots)(a^2+b^2+c^2\cdots)\geqq(1a+1b+1c+\cdots)^2$　…① とみれば、コーシー・シュワルツの不等式になります。 コーシー・シュワルツの不等式は、正の数について必ず成り立つ不等式です。 $(a_1^2+a_2^2+a_3^2+\cdots)(b_1^2+b_2^2+b_3^2+\cdots)\geqq(a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3+\cdots)^2$ です。 この不等式で、$a_1=a_2=a_3=\cdots=1,b_1=a,b_2=b,b_3=c,b_4=d\cdots$ としたものが①ですから、 答案では①まで変形してから、 「これはコーシー・シュワルツの不等式$(a_1^2+a_2^2+a_3^2+\cdots)(b_1^2+b_2^2+b_3^2+\cdots)\geqq(a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3+\cdots)^2$　において 　$a_1=a_2=a_3=\cdots=1,b_1=a,b_2=b,b_3=c,b_4=d\cdots$としたものが①だから不等号は成り立つ」 で終わりにして大丈夫です。 もし、コーシー・シュワルツの不等式を知らないようなら、これは不等式を証明するときに使えるかなり強力な武器ですから理解しておきましょう。コーシー・シュワルツの不等式自体の証明は簡単です。ネットで検索すれば出てきます。たとえば https://examist.jp/mathematics/expression-proof/ckauchy-schwarz/ などをみてください。（リンクが張れないので、コピペしてプラウザで見て） あるいはベクトルを学習済みなら、そこで内積がらみで証明も出てきたかもしれません。 これで大丈夫ですか？ これを読んだら、わかったとか、まだこのへんがわからないとか、コメント欄に返事を書いてください。会話型をめざしています(笑)。 コメントがないと、せっかく書いたものを読んでくれたのかどうか、書いたものが役に立ったのかどうか、こちらではわからないのです。よろしくお願いしますね。読み逃げしないでね(笑)。２回目以降も同様です。