対数について

手書きで申し訳ないです。 見当もつかないので、ご教授願いたいです。

$x^y=y^x \dots$ ① $\log_x y+\log_y x=\dfrac{13}{6} \dots$ ② (1) ②の底を10に変える 　$\dfrac{\log_{10}y}{\log_{10}x} + \dfrac{\log_{10}x}{\log_{10}y}=\dfrac{13}{6} $ 　$\dfrac{Y}{X}+\dfrac{X}{Y}=\dfrac{13}{6}$ 両辺に $XY$をかける 　$Y^2+X^2=\dfrac{13}{6}XY$ 　$6X^2- 13XY+6Y^2 =0$ ∴$(2X-3Y)(3X-2Y)=0 \dots $ ③ (2) ①の両辺で底10 の $\log$ をとる 　$y\log_{10}x=x\log_{10}y$ 　$yX=xY$ ∴$\dfrac{y}{x}=\dfrac{Y}{X} \dots$ ④ ③より 　$Y=\dfrac{2}{3}X$　または　$Y=\dfrac{3}{2}X$ i) $Y=\dfrac{2}{3}X \dots$ ⑤　のとき ④より 　$y=\dfrac{2}{3}x $ 両辺で底10の $\log$ をとって 　$\log_{10}y=\log_{10}\Bigl(\dfrac{2}{3}x \Bigr)$ 　　　$=\log_{10}\dfrac{2}{3} + \log_{10}x$ ∴ $Y=X - \log_{10}\dfrac{3}{2} \dots$ ⑥ ⑤⑥より $\Biggl\{ \begin{array}{l} X=3 \log_{10}\dfrac{3}{2} \\ \\ Y=2 \log_{10}\dfrac{3}{2} \end{array} $ よって $\Biggl\{ \begin{array}{l} x=\Bigl(\dfrac{3}{2}\Bigr)^3 \\ \\ y=\Bigl(\dfrac{3}{2}\Bigr)^2 \end{array} $ ii) $Y=\dfrac{3}{2}X \dots$ のとき ①②は $x, \, y$ について対称だから i) の解より $\Biggl\{ \begin{array}{l} x=\Bigl(\dfrac{3}{2}\Bigr)^2 \\ \\ y=\Bigl(\dfrac{3}{2}\Bigr)^3 \end{array} $