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ある不等式の証明
Ｓ₋3＝◯×◯×◯＋◯×◯×◯＋◯×◯×◯
として、この丸の中に
1,1,1,2,2,2,3,3,3
を入れます。
このとき、最大となるのは
3×3×3+2×2×2+1×1×1
で最小は
3×2×1+3×2×1+3×2×1
のときです。
では、
Ｓ₋n＝◯×◯×◯×…＋◯×◯×◯…＋◯×◯×◯…
（◯をn個ずつかけたものをn個たす。）
にa,b,c,d,...n（≧0)をn個ずつ入れるときに、
最大となるのは
S₋n＝a^n+b^n+c^n...+n^nのときで
最小となるのは
S₋n＝n（a×bxcxdx...xn）
のときということは、どう示せばいいでしょうか。
つまり、
a^n+b^n+c^n...+n^n
≧◯にa, b, c... を入れるすべての入れ替えのときのＳ₋nの値
≧n（a×bxcxdx...xn）
を示したいのです。
この不等式を使って、相加相乗平均の不等式を示したいので、相加相乗平均の不等式を使わない方法でお願いします。
回答
「にa,b,c,d,...n（≧0)をn個ずつ入れるときに、」のところは
「に1,2,3,…,nをn個ずつ入れるときに、」ではないですか？
あるいは一般的に、任意の正数a,b,c,…なのですか？
ちょっと難しそうですね。待ってください。
これを使って相加相乗平均の関係を証明するのですか？
どんな方針なのか興味があります。
a, b, c,... であっています。 どんな正の数についても成り立つと思います この命題が正しければ a, b, c... に対して a=A^(1/n) b=B^(1/n) c=C(1/n) .... を代入すると A+B+C+... ≧n（ABC...)^(1/n) より、相加相乗平均の不等式が示せます。
考えたのは、例えばすべてのトランプを4枚ずつ13組に分けて、それぞれ4枚の数の積を全て足した時、最大になるのは、同じ数ずつのグループを作ったときで13^4+12^4+...+2^4+1^4になるのは明らかなです。 このことから、大きな数はまとめた方が大きくなり、大きな数がばらけるほど総和は小さくなると一般にいえそうです。 なので、一般の場合にも、与えられた数を大きい順に並び替えたa, b, c,..に対して、今の方針で考えれば aは同じ数同士でまとめてかける、次にb同士まとめる、…とすればa^n+b^n+... が最大と言える気がするのです。 また、大きい数をバラけさせた方が大きくならない、（小さくなる）と考えると、まずaをバラけさせて分ける、次に大きいbもバラけさせる、…とわけていくとn組ともabcd...となるので、最小値はn×abcd...となると思うのです。 結論はまちがっていないと思いますが、厳密さにかけるため、質問しました。