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数列と三角比
ここから2CA^2=BC^2+AB^2 の形を作るらしいのですが、そこまでの解法がわかりません。詳しく教えて欲しいです！
（追記: 2023年8月21日22:57）
答えが完成しました！
チェックお願いします🙏
回答
ひなさん、遅くなりましたが解けましたので書きますね。
余りやりたくなかったのですが「力ずく」のやり方です。BC=a,CA=b,AB=ｃと表しておきます。
$\dfrac{1}{\tan A}=\dfrac{\cos A}{\sin A}$ ですので、そこに
$\cos A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc},\sin A=\dfrac{a}{2R}$ を代入して、辺だけの関係にしてしまいます。Rは外接円の半径です。正弦定理からです。
すると $\dfrac{1}{\tan A}=\dfrac{R(b^2+c^2-a^2)}{abc}$ となります。
同様にして、$\dfrac{1}{\tan B}=\dfrac{R(c^2+a^2-b^2)}{abc}$ と $\dfrac{1}{\tan c}=\dfrac{R(a^2+b^2-c^2)}{abc}$ が得られますので、
こいつら(笑)を$\dfrac{2}{\tan B}=\dfrac{1}{\tan A}+\dfrac{1}{\tan C}$ に代入して整理すれば、$2b^2=a^2+c^2$ になるので、等差数列になることが示せます。
というわけで、みっともない解答かもしれませんが、一番工夫もなくできるやり方でしょう。
タンジェントと辺の関係を求めるために、１８０°ーθの関係とか、加法定理とかやりましたが、結局ダメで、もっとも基本に戻りましたらあっけなくできてしまいました。
これで大丈夫ですか？いつものようにコメント欄に返事を書いてください。
（追記: 2023年8月21日23:24）
ひなさん、こんばんは。
答案、拝見しました。ながれはそれでいいです！
ただし…
代入して整理すると、って、いっぺんにやってはダメ。「お前、計算もせずに、こうなるはずだっていう結論だけ書いたんじゃね？」とかいちゃもんをつけられること必至です。代入した式は絶対必要。それを変形していく過程も書くべきです。だって、その変形が答案の主たる部分だもの。
最後のところは、
「②はBC²,CA²,AB²がこの順で等差数列になっていることを示している。（証明終わり）」
でいいかな。公差は隣どうし引いたものだけれど、うまく同じには書けないので不要です（書けないから、っていうのも変だけれど）。
これで大丈夫ですか？質問があれば、ガンガンやってください。ただ私は１１時閉店なもので、もう寝ます。この後の対応は明日になります。ごめんなさいね。
解説ありがとうございました！ 数列の公差が分からないのですが、これは明記しないと点数は引かれますか？
追記しました。読んでくださいね。
修正しました！ 途中式を書いて最後の文を変えただけなのですが、こちらもアップした方がいいでしょうか？ 夜遅くにありがとうございます！
おはようございます。もちろんアップされたら拝見しますが。もうほぼ完成だったのですから、大丈夫だろうと思いますが、心配なら見せてください。今日も暑くなりそうです。体調には気を付けてがんばってください！