シグマの計算

この問題で、黒で書いてある部分までは解くことができたのですが、その下の赤で書いてある式に変形できる過程が分かりません。自分なりに考えてみたのですが、なぜ1/3の前にマイナスがつくのか理解できません。

ぬぬーんさん、こんにちは。初めての方ですね。よろしく！ シグマの中の後ろの部分の処理ですね。 等比数列のようですから、初項と公比をはっきりさせないと和の公式が使えないので、標準の形「第ｎ項＝初項×公比の(n-1)乗」としたかったのですね。 $\dfrac{2}{3}$ の前のマイナスを、数列に含めてもいいですが、その赤い字をみると、「ひく」ととらえて、数列自体は $\dfrac{2}{3}\Big(-\dfrac{1}{2}\Big)^n$ と見ています。 これを初項がはっきりするように(n-1)乗にしてやったのです。 $\dfrac{2}{3}\Big(-\dfrac{1}{2}\Big)^n$ $=\dfrac{2}{3}\Big(-\dfrac{1}{2}\Big)\Big(-\dfrac{1}{2}\Big)^{n-1}$ $=-\dfrac{1}{3}\Big(-\dfrac{1}{2}\Big)^{n-1}$ 初項が $-\dfrac{1}{3}$ 、公比が $-\dfrac{1}{2}$ の等比数列ですからその和がそうなります。 赤い字の「ということ？」の式は符号が間違っています。それは先ほど言ったマイナスを数列の方につけています。ですから最後はマイナスはつきません。それだって大丈夫。数列の和の前が＋になるだけです。黒字の最後の変形でOKです。その時は2/3ｎの次は＋です。 これで大丈夫ですか？ これを読んだら、わかったとか、まだこのへんがわからないとか、コメント欄に書いてください。コメントがないと、せっかく書いたものを読んでくれたのかどうか、書いたものが役に立ったのかどうか、こちらではわからないのです。よろしくお願いしますね。２回目以降も同様です。