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x²-7 > 0の x の値の範囲
対数方程式の問題
log₃(x²-7) = 2
を解く際に、”真数は正”なので x²-7 > 0 としてxの値の範囲を定めると思います。
x²-7 > 0 ⇔ x² > 7 よって、x > √7, x < -√7となります。これは理解できます。
しかし、x² > 7 をさらに式変形して、x > ±√7 とすると、x > √7, x > -√7となり、x > -√7の方の
大小関係が逆になってしまいます。どこに間違いあるのかわかりません。
どういう理屈で、x > ±√7 から x < -√7 が導けるのでしょうか？
どうぞよろしくお願いします。
回答
1 X さん、こんにちは。初めての方ですね。よろしく！
「x² > 7 をさらに式変形して、x > ±√7 とする」というのは間違いですよ。
こういう書き方（x > ±√7） 自体間違いです。
両辺の平方根を考えると、みたいなことを考えたのかな？
等式なら $x^2=7$ より、$x=\pm \sqrt{7}$ という表現、変形は正しいですが、
不等式のように大小関係を考えるときにはダメです。
絶対値を取れば正しいです。
$|x|>|\pm \sqrt{7}|$
これより $|x|>\sqrt{7}$ よって $x>\sqrt{7}$ または $x<-\sqrt{7}$ となります。
いずれにしろ、２次不等式は２次関数を使って求めるのが定石です。
$x^2>7$ なら $y=x^2-7$ のグラフを考えて、グラフがⅹ軸より上にある範囲を求めます。
これで大丈夫ですか？これを読んだら、わかったとか、まだこのへんがわからないとか、コメント欄に返事を書いてください。会話型をめざしています(笑)。よろしく。
さっそくのご回答、どうも有難うございます！ 式変形自体が間違いであること、絶対値をとればOKであること、 よくわかりました。しかしなぜ不等式の場合は式変形してはダメなのか？ ｘ² からさらに、x まで突き詰めて調べたい、というのは自然な欲求だと 思うのですが。 「不等式の場合は平方根を取るのは間違い」というルールについてまるで知らなかったのですが、数学のどの 範囲で学ぶのでしょうか？ やはり２次不等式でしょうか？
2次不等式の解法は、２次方程式のグラフを理解してからがいいです。ま、因数分解して、それぞれの因数の正負を考えてもできますが。$(x-\sqrt{7})(x+\sqrt{7})>0より2つの因数は同符号だから…とか考えるやり方もあります。でも２次関数のグラフが楽です。あなたの学年は？差し支えなければ教えて下さい。
ご回答どうも有難うございます。グラフで理解するのがやはりいいのですね。大変助かりました。どうもありがとうございます。 学び直しの社会人です(^_^;)
あ、そういう方が最近は多いですね。がんばって下さい。
ありがとうございます。頑張ります！