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組み合わせ
連投失礼します💦組み合わせの問題について、黄色マーカーを引いている箇所が理解できません。
なぜ、3の階乗で割らなければいけないのでしょうか？何度か考えたのですがわからず。。
分かりやすく解説していただけると助かります。
（追記: 2023年9月9日23:00）
3
（追記: 2023年9月9日23:03）
4
（追記: 2023年9月9日23:23）
4-2
回答
はい、連投ご苦労様です！
でも、がんばってますね！
まず考え方として、グループに名前Ａ，Ｂ，Ｃをつけて考えています。
その結果は８４×２０×１＝１６８０通りになりました。
でもこの問題ではグループに名前がなく、単に３グループに分けるだけです。すると…
Ａ＝(a,c,i) Ｂ＝(b,e,f) Ｃ＝(d,g,h) という分け方と
B＝(a,c,i) C＝(b,e,f) A＝(d,g,h) という分け方は、
グループ名がついていれば異なる組み合わせですが、
（たとえば、Ａはアイスクリームを食べる、Ｂは外でランニング、Ｃは数学の勉強をする、というグループ！)
名前がなければ、この２つは同じグループ分けです。
（例えば、理科で同じ実験をするときのグループ分け。どのグループも同じことをする。）
じゃ、前に考えた１６８０の組合せには、おなじ(a,c,i) (b,e,f) (d,g,h) がいくつあるかというと、
３このものＡＢＣの順列の数だけありますね。
Ａ＝(a,c,i) Ｂ＝(b,e,f) Ｃ＝(d,g,h)
Ａ＝ 〃 Ｃ＝ 〃 Ｂ＝ 〃
Ｂ＝ 〃 Ａ＝ 〃 Ｃ＝ 〃
Ｂ＝ 〃 Ｃ＝ 〃 Ａ＝ 〃
Ｃ＝ 〃 Ａ＝ 〃 Ｂ＝ 〃
Ｃ＝ 〃 Ｂ＝ 〃 Ａ＝ 〃
３個のものの順列の総数は
$_3P_3=3!=6$個です。
上に書いた６個は１個と考えられますので、名前がつかないときはついているときの６分の１になるのです。
というわけで、名前がつかないときのグループ分けの総数は、名前を付けて考えて求めたものをグループ数の階乗で割ります。
グループの人数が違う時（たとえば２，３，４人のグループ）は、名前がついてなくても区別されますから、名前がついているのと同じです。間違えないようにね！
さらに難しいのは、２人、２人、５人みたいに、人数が同じものと異なるものが混ざるときです。もうすぐそんな問題にもご対面しなければならないかもしれませんね。わからなくなったら、また聴いてください。
さて、これで大丈夫ですか？コメント欄に返事を書いてください。早めに！
（追記: 2023年9月10日10:16）
① ８人をA～Hとします。はじめに４人グループの４人（例えばABCD)を選びました。
次に２人グループの２人（例えばEF)を選びました。最後に残った２人（この場合はGH)がグループになります。
これで１つの分け方です。
次の分けかたとして、４人グループの４人（例えばABCD)を選びました。
次に２人グループの２人（例えばGH)を選びました。最後に残った２人（この場合はEF)がグループになります。
これも１つの分け方です。
でも、実態としては、この２つの分け方は同じですね。つまり、人数が同じグループがあると、グループに名前がついていない場合は入れ替えても同じ分け方になるのです。ですから２で割ります。
同じ人数のグループが３個ある時は入れ替えられる３！で割る、という話は、この質問のおおもとの問題ですね。
それより規模は小さいですが、同じことです。
◎人数が同じグループは区別して考えた後に「実は区別がないので、調整しますよ」ということ。
② どういう重複をいっているのかよくわかりません。
そこに書いてある式は「同じものを含む順列の数」の公式です。これで求められたそれぞれの順列にある２つのXについて、左の方にあるXをSと書き換え、右の方にあるXをGと書き換えれば、条件を満たす順列がすべて作れるので、答はその計算の答になりますね。もしこの回答があなたの質問とずれていたら言ってください。
③ あなたはUが２つあることを忘れていますね！４！ではなく、$\dfrac{4!}{2!1!1!}$ ですね。そうすれば答は求まりますよ！惜しかったですね。ただ、テクニックとして、「順番を考えなければならないものをすべてXとしておいて並べ（＊）、あとからそのXを条件に合うように書き換える」「だから求める答は（＊）になる」という方法を理解した方がいいです。そうしないとS,U,Gがこの順番にあらわれるような…」などと３個も条件が出てきたときにできなくなります。残念ながら、高校数学ではテクニックを学ぶことが多くなってしまっていますね。
お願い：主題が関連していても、新しい質問の時は、新しく質問しなおしてください！どこからが新しい質問なのか迷いますし、写真を見ながら回答を書くのが（上のほうの写真を見たり下に移動して回答を書いたりで）大変疲れるのです（汗）
すみません、こちらの質問も返信が漏れておりました💦大分前に読んで理解できています！ 組み合わせの問題集をやっていたら、良く理解できない問題が今のところ２つあります。 質問を付箋に書き、自分で挑戦してみたノートもupするのでご覧下さい！
解説ありがとうございます！！解説を紙に印刷して図書館でしっかり読んで勉強しようと思います。😁（いつも丁寧な解説ありがとうございます。） また、新しい質問は１つ１つ新しい投稿にするの了解しました。確かに、ページ行ったり来たりするの大変ですよね。。💦 今朝、三角関数の復習をしていたところ、解き方で気になるところや答案の書き方で不安なことがあったので、これから新規で投稿させていただきます。 ちなみに、数検２級の受験は来年の上旬の予定です！
了解です！がんばって下さい！応援してます！！
草ぼうぼうさんの解説を復習して確認したい点があります。 ｢同じ人数のグループが３個ある時は入れ替えられる３！で割る、という話は、この質問のおおもとの問題ですね。｣ →この手の問題がきたら、｢同じ人数のグループの階乗で割る｣という風に覚えてしまってもいいでしょうか？
たしかに結果的にはそうなりますが、ただ覚えるのではなく、理解してください。その場合の３！は3P3のことです。名前付きの同じ人数のグループA,B,Cの中にいる人をそれぞれ入れ替えても、グループ分けとしては同じですから、中の人の組x,y,zの入替え方が3P3です。