二次方程式

写真に書いたようなやり方でやる方針はきついと思うのですが、どんないいやり方があるでしょうか。 （1）（2）両方教えて欲しいです。

ひるまりさん、こんばんは。 ヒント　解と係数の関係を使ってみてください。 私もこれからやってみますが、出来ればひるまりさんが先に分かるといいのですが。あなたは何年生かわかりませんが、数列は学習済みですか？そこで「部分分数に展開する(分解する）」というのを習いましたか？それもまず教えてください。正解をお持ちなら、書いてください。 ｋ番目の方程式が$(k+1)!x^2-(k-1)!x+k=0$ で、その解が $\alpha=a_{2k-1},\beta=a_{2k}$ ですね。 この２つの解と係数の関係より、 $a_{2k-1}+a_{2k}=\cdots=\dfrac{1}{k(k+1)}$…① $a_{2k-1}\cdot a_{2k}=\dfrac{k}{(k+1)!}$…② となりますが、これをそれぞれk=1からk=nまで足すとSやTが求まります。 ここで重要なテクニックが必要になります。これを知らないと、この問題は解けません。 部分分数に分解する、という方法なのですが、これは数列の和のところで出てきます。 たぶん①の和を求める問題は、練習問題とかにほぼ必ずありますので、探してみてください。 ②の部分分数分解は、あまり問題集にはないかもしれません。高級テクです！ $\dfrac{1}{k(k+1)}=\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+1}$ $\dfrac{k}{(k+1)!}=\dfrac{1}{k!}-\dfrac{1}{(k+1)!}$ という驚くべき分解です。前者は教室でも求め方をやったかもしれませんが、後者はどうかなぁ。ハイレベルな授業や予備校なんかではやるのかなぁ。 これを使って、S=　やT=　を具体的に１から４くらいまでと最後のn-1、ｎ番を書けば、あっと驚く！結果ですね。 これで自分で進めてみてください。回答は明日になります。 ここで書いてしまわないのは、意地悪ではなく、私の方針です。ただ答を書いちゃうより、質問した人に考えられるヒントだけをまず出します。 やってみてできたのなら、必要ならそのノートをアップしてください。点検します。だめならやはり途中までのノートもアップしてください。 それじゃ、もう少し頑張ってください。 ======================================== 追加で書きます　8/29　09:00 やってみましたか？ ①②は、解と係数の関係から出ますね。もしうまく求まらなかったら言ってください。 次、①②を部分分数に分解しました。 ①はやり方があるので（ネットや参考書）、それに従うか、公式として,a<bのとき $\dfrac{1}{ab}=\dfrac{1}{b-a}\Big(\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}\Big)$ で納得するか。右辺から左辺に変形すれば正しいことは分かりますのでね。 ②の変形は、たいていの場合覚えておくしかないかも。階乗がらみでの部分分数分解はほぼこの式だけなので。 これも右辺から左辺に変形できることから納得してください。 すると、Sは $S=\Big(\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2}\Big)+\Big(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\Big)+\Big(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}\Big)+\Big(\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{5}\Big)+\cdots +\Big(\dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n}\Big)+\Big(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\Big)=\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{n+1}=\dfrac{n}{n+1}$ ②も同様にして、途中がプラスマイナスで打ち消しあい、最後は $T=\cdots=\dfrac{1}{1!}-\dfrac{1}{(n+1)!}=\dfrac{(n+1)!-1}{(n+1)!}$ になるかと思います。計算間違いがあったら教えてくださいね。 これで大丈夫ですか？あなたの部分分数分解の理解度がわからないので心配ですが。 これを読んだら、わかったとか、まだこのへんがわからないとか、コメント欄に返事を書いてください。 ========================================