算数の立方体の中の三角柱の共通部分の体積

底辺が一辺が12cmの正方形の、直方体ABCD-EFGHで、辺AB, BC, CD, FGの中点を、点P, Q, R, Sとする。 三角柱PFE-RGHと、三角柱AQD-ESHの共通部分の立体の体積を求めよ。 が、分かりません。 教えて下さい。

正方形の1辺を $a$、直方体の高さを $b$ とします。 求める立体は、以下図1①のオレンジとグリーンを合わせた立体です。 それでオレンジとグリーンに分けて考えます。 ■$\underline{\bf オレンジの立体}$ オレンジを体積が求めやすい立体に等積変形します。 ①のオレンジの立体は底面が△TSEで頂点が点Uの三角錐U-TSEです。 AQとESは平行だから、△TSEは△QSEに等積変形できます。 ゆえに、三角錐U-TSEは三角錐U-QSEに等積変形できます。 次に、全体を真上から見た図を描くと図２のようになります。 そうすると△QSEは平面TQSEにあり、この平面は図2では TQにあたる部分になります。 図2で TQとUCは平行なので、平面TQSEと UCにあたる平面も平行なので、 点Uを点Cに平行移動することができ、三角錐U-QSEは図1 ②のオレンジの三角錐C-QSEに等積変形できます。 底面の△QSEはそのままで頂点Uが Cに移動したイメージです。 そして、QSとCGは平行なので、△QSCは△QSGに等積変形できます。 ゆえに、三角錐C-QSEは三角錐G-QSEに等積変形できます。 さてここで三角錐G-QSEの体積を求めます。底面を△QSG、頂点を点Eと考えて求めます。 　△QSGの面積$=\dfrac{1}{2} \times \rm QS \times SG$ 　　　　$=\dfrac{1}{2} \times b \times \dfrac{1}{2}a$ 　　　　$=\dfrac{1}{4}ab$ ∴三角錐G-QSEの体積$=\rm \triangle QSE \times EF \times \dfrac{1}{3}$ 　　　　$=\dfrac{1}{4}ab \times a \times \dfrac{1}{3}$ 　　　　$=\underline{\dfrac{1}{12}a^2b} $ これがオレンジの立体の体積です。 ■$\underline{\bf グリーンの立体}$ グリーンの立体は、底面が△ESHとする三角錐U-ESHです。 この体積は△ESHの面積とそれに対する点Uまでの高さは $b$ なので次のように求められます。 　三角錐U-ESHの体積$=\rm \triangle ESH \times \dfrac{1}{3} \times b$ 　　　　$=\Bigl( \dfrac{1}{2} \times a \times a \Bigr) \times \dfrac{1}{3} \times b$ 　　　　$=\underline{\dfrac{1}{6}a^2b}$ 以上から、求める立体の体積は以下となります。 　$\dfrac{1}{6}a^2b + \dfrac{1}{12}a^2b = \dfrac{1}{4}a^2b$ あとは、$a=12$ [cm],　$b=4$ [cm] を入れて計算すればよいです。 　$\dfrac{1}{4} \times 12^2 \times 4 = \fbox{144 [㎤]}$