楕円と平行四辺形

この問題の解き方教えてください

オープンさん、おはようございます。 あれこれ考えましたが、力ずくで取り組むにはそうとう大変な問題のようですね。いや、私の力がないのかもしれませんが。 東大オープンという名ですが、この問題はその模試の問題でしょうか？出典はどこですか？ 東大の１９９０年に楕円と平行四辺形がらみの問題が出ましたが。それより一般的な設定のようで…。 （１）平行な２直線y=px+q,y=px+rが楕円と交わって、切り取られる長さが等しい時はそれぞれの交点のⅹ座標の差βーαは等しいはず、解と係数の関係よりa,p,q,rの関係式が得られ…とかやって、ｒ＝ーｑを導けば「２直線は原点対称。対応する２点を結べば対称の中心である原点を通る！」という方針で臨んだのですが、ちょっと体力がなくなりました。 東大レベルの解法なら、こんなのでもいいでしょう。 別解：楕円と、それに内接する平行四辺形全体をⅹ軸に沿ってy軸に向かって$\dfrac{1}{a}$倍に縮小（あるいは拡大）し、楕円が半径１の円になるように変形する。この変形では直線の平行性は保たれる。よって縮小後は円に内接する平行四辺形となる。円に内接する平行四辺形は長方形に限る（答案ではここはちょっと説明を加えた方がいいかな）。よってその対角線は円の直径になり、原点を通る。再び元に戻すように拡大（あるいは縮小）して復元するとき、原点の位置はもちろん不変。よって復元後の平行四辺形の対角線も原点を通る。対角線の交点は原点である！！ （２）もお見せするような解答に至っていません。ただ、最大最小値は分かります。 その菱形が小さくなっていって、縦の状態で楕円に接するのは$a=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ の時だし（菱形自体も原点対称なので、これ以上aが小さくなると無理！）、菱形が大きくなって横の状態で楕円に接するのは $a=\sqrt{3}$ のとき（これ以上aが大ききなると無理！！！）。ただし、これは最大最小を求めただけで、その途中の値ですべて菱形が存在できるかはまだ解けていません。 さて、あなたのノートですが、 ①$\sqrt{3}$ 倍とは限らず $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$倍でもよいのでは。 ②「よって」の右の方、ａの不等号は≧では？ ③３個目の⇔は違うのでは？分母をはらったようですが、分母の正負を考えて不等号の向きに注意しないと。 (1)などは、「対称性から明らか」でも済ませられそうですが、解答はそうではないのでしょうね。 (2)は$\dfrac{1}{\sqrt{3}} \leqq a \leqq \sqrt{3}$ で合ってます？ お願い①この問題の出典　②正解　③解答　を教えてください。 これを読んだら、わかったとか、まだこのへんがわからないとか、コメント欄に返事を書いてください。コメントに沿って、できれば一緒に頑張ってみますが。