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三角関数(1)

    kiritanpo _samurai (id: 2237) （2023年8月31日8:20）
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    連投失礼いたします。昨日、数検の勉強をしていて新たな問題に色々と着手したので沢山質問ができました💦 この質問以外に、三角関数の他の問題ついての質問がもう１つと、点と直線の距離についての質問が１つあるので、他の投稿で質問させていただきます💦以下、質問を箇条書きにします。 ①｢鋭角｣と｢鈍角｣って三角形のどの角のことを示しているのでしょうか？ ②どのように、sina=3/5からcosa=4/5を導くのでしょうか。また、どのように三角形の辺の長さも判明するのですか？？（黄色マーカーで囲んだ部分の右側にある三角形のこと。） お願いします_(._.)_
    （追記: 2023年9月1日22:53）
    追記(1)
    （追記: 2023年9月2日8:48）
    追記(2)
    （追記: 2023年9月2日8:50）
    追記(3)
    （追記: 2023年9月2日9:17）
    追記(4)
    （追記: 2023年9月2日23:22）
    追記(5)
    （追記: 2023年9月3日15:03）
    参考書
    （追記: 2023年9月3日15:03）
    追記(6)
    （追記: 2023年9月3日22:53）
    追記(7)

    IMG_1551.jpg

    jpeg_追記①.jpg

    jpeg_追記②_1.jpg

    jprg_追記②_2.jpg

    jpeg_追記③.jpg

    質問②.jpg

    参考_参考書.jpg

    追記④.jpg

    jpeg_追記⑤.jpg

    回答

    くさぼうぼう : (id: 1236) （2023年8月31日10:37）
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    では２つ目。 ①どの角という事ではありません。大きさの話です。googleさんで検索してみてね。０°より大きく９０°より小さい角を鋭角といいます。９０°のことは直角といいますね。９０°より大きく１８０°より小さい角を鈍角といいます。「三角比の拡張」のあたりから三角比を座標平面の円の半径の位置で考えますが、鋭角は第１象限の角、鈍角は第２象限の角です。ですから鋭角ならサインコサインとも正の値、鈍角ならサインは正、コサインは負の値になりますね。 ②その解説では直角三角形をもとに考えていますが、鈍角などが入ってきたらこのやり方はお勧めできません。いちおう説明すると、この解説では「サインは「斜辺」分の「高さ」で、それが５分の３だから、斜辺が５，高さが３の直角三角形を書き第１象限に書きました。底辺は三平方の定理から４と求まります。βのほうは、サインの分母が１３だから斜辺が１３，分子が５だから高さが５の直角三角形を第２象限に書いています。 しかし、このやり方は発展性がなく、お勧めできません。この辺りからは三角比の３つの相互関係を使いこなす必要があります。相互関係が何かは、三角比の初めの方にあります。なければネットで検索すれば出てきます。 サインかコサインの値が分かっているときは、もっとも基本的な $\sin ^2 \theta+\cos^2\theta=1$ を使います。 $\sin \alpha=\dfrac{3}{5}$ を代入して計算すると $\cos^2\alpha=\dfrac{16}{25}　\cos\alpha=\pm\dfrac{4}{5}$ 。ここでαは鋭角なのでコサインは正。よって平方根のうちのプラスの方を採用して　$\cos\alpha=\dfrac{4}{5}$ が得られます。βでは鈍角なのでコサインは負だから、平方根のうちのマイナスの方を採用します。 こんなんでわかりますか？
    （追記: 2023年9月3日21:19）
    コメント、拝見。かみ砕いて…難しいなぁ、言葉と図で伝わるかなぁ。面と向かっての説明ならいいのですがね。 うまくかみ砕けたかは心配です。きっと参考書の方が上手に説明してあるのではないかと思います。 ま、読んでみてください。 まず、１：２：√３（斜辺は２）とか１：１：√２(斜辺は√２）はご存知ですか？３０°６０°の直角三角形や４５°の直角２等辺三角形の辺の比です。 斜辺の長さを１としたときの、他の辺の長さを調べておきます。1/2とか√３/2とか√２/2とかになります。 それらを座標平面上に移動して、さらに斜辺だけを残して他の辺を消してしまうことによって、サインはy軸に、コサインはⅹ軸にあらわれることがわかります。これで、サイン・コサインの値を、直角三角形の辺の比という定義から離脱して、「単位円上の点のⅹ座標、y座標」をコサイン・サインの定義にします。 こうすることによって、直角三角形は考えられないような鈍角、さらには一般角の三角比が定義できます。 実際に図から値を求められるのは、角が３０°か４５°の倍数の時だけです。これらの時は、その動径の位置Pを決めれば、座標が読めますから（1/2とか√３/2とか√２/2とか）、あとは符号を考えて求めます。
    （追記: 2023年9月3日21:21）
    ２枚目です。

    7489_0.jpg

    7488_0.jpg

    kiritanpo _samurai (id: 2237) （2023年9月1日22:53）
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    解説ありがとうございます。 説明していただいた内容でいくつか質問がありますので、以下、箇条書きです。 ①鋭角=第1象限、鈍角=第二象限という覚え方でよろしいでしょうか？ ②｢ sin 2θ+cos 2 θ=1 を使います。｣と書かれていますが、このやり方でやるとなにかメリットがあるのでしょうか？「 理解できているところまで、追記でノートをupしますのでご覧下さい!! 回答お待ちしております!!

    くさぼうぼう : (id: 1236) （2023年9月1日23:15）
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    えー、鋭角とか鈍角という言葉は大きさの範囲を表すので、９０°未満が鋭角、９０°より大きく１８０°未満が鈍角ということの方が大事ですので、これを覚えてください。三角比を考えるときに座標平面を使うので、鋭角は第１象限の角、鈍角は第２象限の角となります。sin²θ＋cos²θ＝１など、大事な相互関係を使わなければ解けない問題があとで出てきます。それに数学Ⅱで三角関数になったら１８０°を超える三角比とかマイナスの角の三角比とか出てきて、図ではできなくなります。ぜひ相互関係を使って慣れておいてください。この問題に限っては、ま、図で求めてもできますが。

    kiritanpo _samurai (id: 2237) （2023年9月2日8:40）
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    なるほど、問題が複雑になってくると図ではできなくなる場合もあるんですね～！この手の問題が来たら積極的に相互関係の公式を使っていきたいと思います。 図を書く方法と相互関係から求める方法の両方でまとめてみました。ノートをupしておきます♪ ありがとうございました。

    くさぼうぼう : (id: 1236) （2023年9月2日9:01）
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    はい、拝見しました。１点を除けばそれですばらしい解答になってます。どこがおかしいかというと、この問題ではθでなくαまたはβで、例えばcos²α＝16/25までいってからそのまま続けて＝±4/5としていますが、これは絶対やめないと。cos²α＝16/25までいったら、行をかえて主語をsinαにした式　sinα＝±4/5　を書かないと、絶対減点ものです。暑いですが、頑張ってください！

    くさぼうぼう : (id: 1236) （2023年9月2日9:02）
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    数検の何級を受験の予定ですか？差し支えなければ教えてください。

    kiritanpo _samurai (id: 2237) （2023年9月2日9:19）
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    ご指摘ありがとうございます。修正したものをupしたのでご覧ください。 数検は2級を受験予定です。年内の受験は都合により難しいので、来年の上旬に受験するつもりでいます。 学生時代にほとんど数学を勉強しなかったので、まだまだ合格には程遠いレベルかと思いますが、コツコツと勉強しているところです💦いつも教えていただき大変助かっています。ありがとうございます♪

    kiritanpo _samurai (id: 2237) （2023年9月2日23:21）
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    sin120°の三角比の求め方について合っているか確認したいです。 追記でupした一番下の写真を見て確認していただけますか？

    くさぼうぼう : (id: 1236) （2023年9月2日23:32）
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    写真拝見しました。それでいいです。しかし、いちいちそのような変形を考えて１２０°（や１５０°など）の三角比を求めないで（時間かかりすぎ）、座標平面に半径１の円を書き、１２０°の動径(半径）を書いて、その図からサインなどの値を読むことを練習した方がいいです。（あるいは半径２の円のほうがわかりやすければ２でもいいですが）教科書か参考書に座標平面上の円と三角比の図がいくつもるはずです。その図をグッとにらんで、考えてください。

    kiritanpo _samurai (id: 2237) （2023年9月3日14:54）
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    すみません。半径１の円を描いてsinの値を読み取ろうとしたのですがうまくいきませんでした。 参考書のページと自分でトライした写メをupするのでご覧ください。

    くさぼうぼう : (id: 1236) （2023年9月3日18:20）
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    あれ？２１０°？１２０°？あなたの書いた１２０°の図で、サインの値は点Pのｙ座標と定義されましたので、√３/2ですよ。もう一般角まで拡張されましたから、いつまでも直角三角形で考えているとおかしくなります。直角三角形から脱却して（？）円上の点のⅹ座標がコサイン、ｙ座標がサインと理解しましょう。

    kiritanpo _samurai (id: 2237) （2023年9月3日20:14）
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    ｢直角三角形から脱却して（？）円上の点のⅹ座標がコサイン、ｙ座標がサインと理解しましょう。｣ →すみません、多分この辺りが理解できていないです💦この考え方でどのように√３/2が導かれるのか、かみ砕いて教えていただくことはできますか💦

    くさぼうぼう : (id: 1236) （2023年9月3日21:22）
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    かみ砕けたかどうか心配ですが、回答に追記しました。写真を見てくださいね。

    kiritanpo _samurai (id: 2237) （2023年9月3日22:52）
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    画像付きの分かり易い解説ありがとうございました。 ①斜辺を１として考える。 ②sin=縦軸、y=横軸として見る。 ということが大事なんですね～！（合ってるかな？）くさぼうぼうさんの説明を見ながら、自分でもノートにまとめてみました。（紫の波線で囲んだ部分）また、青の付箋で１つ質問もありますのでご覧下さい。 円周角の定理の復習がなかなかできておらずすみません💦明日中には返信させていただきます。💦 今日はちょっと色々あって疲れたのでそろそろＰＣを閉じて寝ようと思います！お疲れ様でした～★

    kiritanpo _samurai (id: 2237) （2023年9月3日22:54）
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    すみません、upした画像が上下逆さまになってます💦回転させてご覧下さい💦

    くさぼうぼう : (id: 1236) （2023年9月4日8:50）
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    はい、そうです！cos120°=-1/2です！図を書いてみれば、鈍角だと第２象限の角だから、x座標は負。よってコサインの値は負です！サインの値はy座標なので、第１象限でも第２象限でも正。よって鋭角でも鈍角でもサインの値は正です！！第３、第４象限の角についてもx座標やy座標の正負はきまるので、サインコサインの符号も分かります。

    くさぼうぼう : (id: 1236) （2023年9月4日8:52）
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    この質問や回答がずいぶん長〜くなってしまったので、新たな質問は、新しく立ててくれませんか？

    くさぼうぼう : (id: 1236) （2023年9月4日8:58）
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    あなたの写真と、このコメント欄を行ったり来たりするのが大変なんです(笑)。

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